22.13. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна H. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол α, а диагональ пирамиды — угол β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основания пирамиды — квадраты со стороной $a$ (нижнее) и $b$ (верхнее). Высота $H$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l$, высотой пирамиды $H$ и проекцией бокового ребра на основание. Проекция ребра — это половина диагонали квадрата основания. Диагональ нижнего квадрата $d_1 = a\sqrt{2}$, верхнего $d_2 = b\sqrt{2}$. Угол бокового ребра с основанием равен $\alpha$, значит: $\frac{H}{l} = \sin \alpha \implies l = \frac{H}{\sin \alpha}$. Проекция бокового ребра на нижнее основание равна $\frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$. Из прямоугольного треугольника с катетами $H$ и $\frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$ и гипотенузой $l$: $\frac{H}{l} = \sin \alpha \implies l = \frac{H}{\sin \alpha}$. $\frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} = H \cot \alpha \implies a-b = H\sqrt{2} \cot \alpha$. 2. Диагональ пирамиды $D$ (соединяющая вершину нижнего основания с вершиной верхнего) образует угол $\beta$ с плоскостью основания. Проекция этой диагонали на основание — это отрезок, соединяющий вершину нижнего основания с центром (или проекцией вершины верхнего основания). Здесь более удобно: диагональ $D$, высота $H$ и отрезок в плоскости основания образуют прямоугольный треугольник. Отрезок в плоскости основания — это отрезок от вершины $A$ до проекции вершины $A_1$ на нижнее основание. Его длина $x = \sqrt{(\frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2})^2 + H^2}$? Нет, проще: диагональ пирамиды лежит в плоскости диагонального сечения. Проекция диагонали пирамиды на основание — это отрезок $\frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{2}}{2}$. $\tan \beta = \frac{H}{\frac{(a+b)\sqrt{2}}{2}} \implies a+b = \frac{H\sqrt{2}}{\tan \beta} = H\sqrt{2} \cot \beta$. 3. Имеем систему: $a+b = H\sqrt{2} \cot \beta$ $a-b = H\sqrt{2} \cot \alpha$ Складывая и вычитая, получим: $a = \frac{H\sqrt{2}}{2} (\cot \beta + \cot \alpha)$ $b = \frac{H\sqrt{2}}{2} (\cot \beta - \cot \alpha)$ 4. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 4 \cdot \frac{a+b}{2} \cdot m$, где $m$ — апофема (высота боковой грани). $m^2 = H^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = H^2 + (\frac{H\sqrt{2}\cot \alpha}{2})^2 = H^2 + \frac{H^2 \cot^2 \alpha}{2} = H^2 (1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha)$. $m = H \sqrt{1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha}$. $S_{бок} = 2(a+b)m = 2(H\sqrt{2} \cot \beta) \cdot H \sqrt{1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha} = 2H^2\sqrt{2} \cot \beta \sqrt{1 + \frac{1}{2} \cot^2 \alpha} = H^2 \cot \beta \sqrt{8 + 4 \cot^2 \alpha}$. Ответ: $H^2 \cot \beta \sqrt{8 + 4 \cot^2 \alpha}$.