1. В треугольнике ABC A=100 0, C=40 0. А) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный и укажите его боковые стороны.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. **Задача 1** В треугольнике ABC: $\angle A = 100^\circ$, $\angle C = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол B: $\angle B = 180^\circ - 100^\circ - 40^\circ = 40^\circ$. А) Так как $\angle C = \angle B = 40^\circ$, то треугольник равнобедренный с основанием BC. Боковые стороны — AB и AC. Б) СК — биссектриса. Она делит угол C пополам: $\angle ACK = \angle BCK = 40^\circ / 2 = 20^\circ$. Рассмотрим треугольник АКС. Угол $\angle A = 100^\circ$, $\angle ACK = 20^\circ$. Тогда $\angle AKC = 180^\circ - 100^\circ - 20^\circ = 60^\circ$. Значит, биссектриса СК образует со стороной АВ углы $60^\circ$ и $120^\circ$ (так как они смежные). **Задача 2** Дано: $AO = OB$, $CO = OD$ (так как O — середина отрезков). А) Рассмотрим $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$: 1. $AO = OB$ (по условию); 2. $OD = OC$ (по условию); 3. $\angle AOD = \angle BOC$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Б) Из равенства треугольников следует, что $\angle OBC = \angle ODA$. Так как $\angle ODA = 40^\circ$, то $\angle OBC = 40^\circ$. *(Примечание: в условии опечатка "Найдите ОВС", скорее всего, имеется в виду угол, соответствующий углу при вершине, либо значение угла. Если требуется именно $\angle OBC$, то ответ $40^\circ$.) **Задача 3** Периметр равнобедренного треугольника $P = 80$ см. Одна сторона $20$ см. Возможны два случая: 1. Основание равно $20$ см. Тогда боковые стороны: $(80 - 20) / 2 = 30$ см. Это возможно (30+30 > 20). 2. Боковая сторона равна $20$ см. Тогда вторая боковая сторона тоже $20$ см. Основание равно: $80 - 20 - 20 = 40$ см. Но по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть больше третьей: $20 + 20 = 40$, а $40$ не больше $40$. Треугольник со сторонами 20, 20, 40 не существует (это вырожденный треугольник). **Ответ:** основание равно $20$ см.