На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 152°.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. **Задача 7** Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой. Угол $ABC$ — это угол между касательной $BC$ и хордой $AB$. Так как дуга $AB$ равна $152^\circ$, то $\angle ABC = 152^\circ / 2 = 76^\circ$. **Ответ: 76** **Задача 8** Если сторона треугольника $AC$ проходит через центр описанной окружности (то есть является диаметром), то треугольник $ABC$ — прямоугольный, и угол $B$ равен $90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. У нас $\angle A = 44^\circ$, $\angle B = 90^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$. **Ответ: 46** **Задача 9** Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на ту же дугу $AB$, на которую опирается центральный угол $AOB$. Однако, обрати внимание на рисунок: точка $C$ лежит на той же дуге, что и $O$ относительно $AB$, либо по другую сторону. По условию: "Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$". Это означает, что угол $ACB$ вписан в большую дугу, если смотреть на окружность целиком. Но так как $O$ — центр, $\angle AOB = 65^\circ$. Угол $\angle ACB = \angle AOB / 2$ — это если бы $C$ лежала на большей дуге. Здесь же $O$ находится внутри треугольника. В таких задачах часто используется свойство: $\angle ACB = 180^\circ - \angle AOB / 2$, так как $CAOB$ — это не просто дуги, а центральный угол и вписанный. Но по факту: вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $C$. Дуга $AB$, на которую опирается $\angle AOB$, равна $65^\circ$. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Значит $\angle ACB = 65^\circ / 2 = 32,5^\circ$. **Ответ: 32,5** **Задача 10** В равностороннем треугольнике точка $O$ (центр) также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Расстояние от центра до стороны — это радиус вписанной окружности ($r$), который равен $1/3$ высоты треугольника ($h$). У нас $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $h = 3r = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Формула высоты равностороннего треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона. Приравняем: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $a = 3$. **Ответ: 3** **Задача 11** Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними. Обозначим точку пересечения касательных как $M$. Угол $AMB = 42^\circ$. Треугольник $AMB$ — равнобедренный ($MA=MB$). Углы при основании $MAB$ и $MBA$ равны $(180^\circ - 42^\circ) / 2 = 138^\circ / 2 = 69^\circ$. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $MA$, значит $\angle OAM = 90^\circ$. Тогда $\angle OAB = \angle OAM - \angle MAB = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ$. В треугольнике $OAB$ стороны $OA = OB = R$, значит он равнобедренный. $\angle OBA = \angle OAB = 21^\circ$. **Ответ: 21**