1605 Равносильность уравнений

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней. Давай разберем каждый случай. 1) $3x - 7 = 5x + 5$ и $2x + 12 = 0$ $3x - 5x = 5 + 7 \Rightarrow -2x = 12 \Rightarrow x = -6$ $2x = -12 \Rightarrow x = -6$ Корни совпадают, значит, уравнения **равносильны**. 2) $x^2 - 3x + 2 = 0$ и $x^2 + 3x + 2 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $x = \frac{3 \pm 1}{2}$, корни: $1, 2$. $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $x = \frac{-3 \pm 1}{2}$, корни: $-1, -2$. Корни разные, уравнения **не равносильны**. 3) $x^2 - 1 = 0$ и $2^{x-1} = 0$ $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$. Два корня. $2^{x-1} = 0$ — показательная функция $a^x$ (где $a > 0$) никогда не равна 0. Корней нет. Уравнения **не равносильны**. 4) $\frac{x^2 - 1}{3} = 1$ и $x^2 - 1 = 3$ $x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. $x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Корни совпадают, уравнения **равносильны**. 5) $\frac{3}{4}x = 11$ и $3x = 44$ $x = 11 \cdot \frac{4}{3} = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$. $3x = 44 \Rightarrow x = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$. Корни совпадают, уравнения **равносильны**.