3. Боковая сторона и высота равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны соответственно 30 см и 24 см. Найдите основания трапеции.

Задача 3 Дано: $ABCD$ — равнобедренная трапеция, вписана окружность. $AB = CD = 30$ см. $h = 24$ см. Найти: $BC$, $AD$. Решение: 1) У равнобедренной трапеции, описанной около окружности, боковая сторона равна полусумме оснований: $AB = \frac{BC + AD}{2} \Rightarrow BC + AD = 2 \cdot 30 = 60$ см. 2) Опустим высоты $BH$ и $CK$ на $AD$. Тогда $HK = BC$. Так как трапеция равнобедренная, $AH = KD = \frac{AD - BC}{2}$. 3) В $\triangle ABH$: $\angle AHB = 90^{\circ}$, $AB = 30$, $BH = 24$. По теореме Пифагора: $AH = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см. 4) $AD = BC + 2AH \Rightarrow AD = BC + 36$. 5) Подставим в сумму: $BC + (BC + 36) = 60 \Rightarrow 2BC = 24 \Rightarrow BC = 12$ см. 6) $AD = 12 + 36 = 48$ см. Ответ: 12 см, 48 см. --- Задача 4 Дано: $ riangle ABC$ — равнобедренный ($AB=BC$ - нет, в равнобедренном обычно $AB=AC$ или $AB=BC$, примем $AB=BC$, значит основание $AC$). Боковая сторона $AB$ стягивает $\frac{1}{6}$ часть дуги (для описанной окружности). Найти: Углы $\triangle ABC$. Решение: 1) Дуга $AB$ составляет $\frac{1}{6}$ часть окружности: $\cup AB = 360^{\circ} \cdot \frac{1}{6} = 60^{\circ}$. 2) Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$: $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = 30^{\circ}$. 3) Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ACB = 30^{\circ}$. 4) Сумма углов треугольника: $\angle ABC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. Ответ: $30^{\circ}, 30^{\circ}, 120^{\circ}$. --- Задача 5 Дано: Равнобедренная трапеция, описана около окружности радиуса $r$. Боковая сторона $c$. Доказать: $S = 2cr$. Доказательство: 1) Площадь трапеции: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$. 2) Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру: $h = 2r$. 3) У равнобедренной трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований: $AB + CD = AD + BC$. Так как $AB = CD = c$, то $2c = AD + BC$. 4) Подставим в формулу площади: $S = \frac{2c}{2} \cdot 2r = c \cdot 2r = 2cr$. Что и требовалось доказать.