Доска 8 × 501 раскрашена в шахматном порядке. В её клетках расставлены числа, как показано на рисунке. Найдите разность сумм чисел на чёрных и белых клетках.

Разберем структуру доски $8 \times 501$. В строке у нас $501$ клетка. Всего в строке $251$ белая клетка (если считать первую) и $250$ черных. Всего в таблице $8$ строк. Заметим, что в каждой строке числа идут подряд. Пусть в первой строке числа от $1$ до $501$. Сумма чисел в первой строке: $S_1 = 1 + 2 + \dots + 501 = \frac{501 \cdot 502}{2} = 501 \cdot 251 = 125751$. При шахматной раскраске в каждой строке мы чередуем цвет. Если $a$ — сумма на белых, $b$ — на черных в строке: - В 1-й строке: $1$ (белая), $2$ (черная), $3$ (белая) и т.д. - Во 2-й строке: $9$ (черная, так как под $1$ (белой) всегда идет черная клетка), $10$ (белая) и т.д. Заметим закономерность разности в каждой строке $k$ (где $k$ от $0$ до $7$): В строке $k$ числа идут от $8k + 1$ до $8k + 501$. Разность $d_k$ (сумма на белых минус сумма на черных или наоборот, в зависимости от того, какая клетка первая) будет постоянной по модулю. Для строки 1: белые клетки $1, 3, 5, \dots, 501$, черные $2, 4, 6, \dots, 500$. Разность $S_{white} - S_{black} = (1-2) + (3-4) + \dots + (499-500) + 501 = -250 + 501 = 251$. Для строки 2: черные клетки $9, 11, 13, \dots, 509$, белые $10, 12, 14, \dots, 508$. Разность $S_{white} - S_{black} = 10-9 + 12-11 + \dots + 508-507 - 509 = 250 - 509 = -259$. Так как доска имеет $8$ строк, и они чередуются по типу раскраски, то разность для всей доски будет суммой разностей по строкам. Всего $4$ пары строк, где разности дают $251 + (-259) = -8$. Итого: $4 \cdot (-8) = -32$. Ответ: -32