1. В окружности проведены две хорды MN и PK, пересекающиеся в точке E.

Решим задания по геометрии: 1. Дано: $MN=14$, $ME=NE+2$, $S_{MEK}=64$. Так как $MN=ME+NE=14$ и $ME=NE+2$, то $(NE+2)+NE=14 \Rightarrow 2NE=12 \Rightarrow NE=6$, $ME=8$. Треугольники $MEK$ и $PEN$ подобны (углы при хордах равны, вертикальные углы), коэффициент подобия $k = ME/NE = 8/6 = 4/3$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_{MEK}/S_{PEN} = k^2 = (4/3)^2 = 16/9$. Тогда $S_{PEN} = S_{MEK} \cdot (9/16) = 64 \cdot 9/16 = 36$. **Ответ: 36 см$^2$.** 2. Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются хорды (так как касательные перпендикулярны, проекции отрезков на линию центров образуют прямоугольный треугольник). $d = \sqrt{5^2 + 21^2} = \sqrt{25 + 441} = \sqrt{466}$. **Ответ: $\sqrt{466}$ см.** 3. В ромбе $ABCD$: $AB=5$, $BD=2\sqrt{5}$. Пусть $AM:MB = CK:KD = 1.5 = 3/2$. Тогда $AM=3, MB=2, CK=3, KD=2$. Так как $AM=CK$ и $MB=KD$, а стороны параллельны, $MBKD$ — параллелограмм. Так как в ромбе диагональ перпендикулярна другой, а стороны параллельны, это прямоугольник. Высота ромба $h = \sqrt{AB^2 - (BD/2)^2} = \sqrt{25 - 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Площадь $MBKD = KD \cdot h = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. Периметр: $2 \cdot (2 + 2\sqrt{5}) = 4+4\sqrt{5}$. **Ответ: $P = 4+4\sqrt{5}$, $S = 4\sqrt{5}$.** 4. Пусть $O$ — центр, $R=5, AB=6$. Расстояние от $O$ до $AB$ равно $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$. Пусть $O(0,0)$, $AB$ лежит на линии $y=4$. $A(-3, 4), B(3, 4)$. $P$ на прямой $AB$ вне хорды, $AP:PB = 5:2$. Пусть $P(x, 4)$. Тогда $|x-(-3)| : |x-3| = 5:2$. $2|x+3| = 5|x-3|$. $2x+6 = 5x-15 \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7$ (или $2x+6 = -5x+15 \Rightarrow 7x=9 \Rightarrow x=9/7$ — внутри, не подходит). $P(7, 4)$. Расстояние от $P$ до $(0,0)$ равно $\sqrt{7^2+4^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$. **Ответ: $\sqrt{65}$.** 5. $AB=8, BC=7, CA=9, AP=2, PB=6$. Окружность проходит через $P, B$, касается $AC$ в $T$. По теореме о касательной и секущей: $AT^2 = AP \cdot AB = 2 \cdot 8 = 16$, значит $AT = 4$. Пусть $Q$ — точка пересечения окружности с $BC$. По теореме о секущих $BQ \cdot BC = BP \cdot BA$. $BQ \cdot 7 = 6 \cdot 8 = 48$, значит $BQ = 48/7$. **Ответ: $AT=4, BQ=48/7$.**