1. Найдите все углы вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если ∠ A=40°, а ∠D =90°

Привет! Давай разберемся с задачами по геометрии. ### Решение задач **1. Вписанный в окружность четырехугольник:** Свойство вписанного четырехугольника: суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Если $\angle A = 40^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Если $\angle D = 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. **Ответ:** $40^\circ, 90^\circ, 140^\circ, 90^\circ$. **2. Описанный около окружности четырехугольник:** Свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. Известны только пара противоположных сторон ($7$ см и $10$ см). Их сумма равна $17$ см. Сумма двух других сторон также будет $17$ см. Периметр равен сумме всех сторон: $17 + 17 = 34$ см. **Ответ:** Да, можно. Периметр равен $34$ см. **3. Периметр описанного четырехугольника:** Сумма противоположных сторон $AB+CD=18$ м. Значит, сумма другой пары противоположных сторон ($BC+AD$) также равна $18$ м. Периметр равен $18 + 18 = 36$ м. **Ответ:** $36$ м. **4. Углы вписанного четырехугольника:** Сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Если $\angle A = 116^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. **Ответ:** $64^\circ$. **5. Углы вписанного четырехугольника:** У нас есть два угла: $44^\circ$ и $87^\circ$. Так как вписанный четырехугольник не обязательно параллелограмм, мы не знаем, являются ли они противоположными. - Если они не противоположны, то для каждого есть пара: $180-44=136^\circ$ и $180-87=93^\circ$. Оставшиеся углы: $136^\circ$ и $93^\circ$. Больший из них $136^\circ$. - Если они противоположны, то сумма $44+87=131 \neq 180$, значит, они точно не противоположны в одной паре. **Ответ:** $136^\circ$. **6. Четвертая сторона:** Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Обозначим стороны как $a, b, c, d$. Пусть $a=6, b=8, c=9$. Тогда $a+c = b+d \Rightarrow 6+9 = 8+d \Rightarrow 15=8+d \Rightarrow d=7$ см. Периметр: $6+8+9+7 = 30$ см. **Ответ:** $7$ см, $30$ см. **7. Средняя линия трапеции:** Описанная трапеция: суммы оснований равны сумме боковых сторон. Пусть основания $a, c$, боковые стороны $b=2, d=4$. $a+c = b+d = 2+4 = 6$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+c}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. **Ответ:** $3$ см.