Найдите площадь полной поверхности и объем правильной призмы, если длина диагонали основания 12, а длина диагонали призмы 15.

Question

Вопрос:

Найдите площадь полной поверхности и объем правильной призмы, если длина диагонали основания 12, а длина диагонали призмы 15.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть дана правильная четырехугольная призма. Диагональ основания ($d_{осн}$) равна 12, диагональ призмы ($D$) равна 15. Основанием правильной четырехугольной призмы является квадрат. 1. Найдем сторону основания $a$. В квадрате диагональ $d_{осн} = a\sqrt{2}$. $12 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$. 2. Найдем высоту призмы $H$. Диагональ призмы, диагональ основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник, где диагональ призмы — гипотенуза. $D^2 = d_{осн}^2 + H^2$ $15^2 = 12^2 + H^2$ $225 = 144 + H^2$ $H^2 = 225 - 144 = 81$ $H = \sqrt{81} = 9$. 3. Площадь полной поверхности $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (4a) \cdot H = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 9 = 216\sqrt{2}$. $S_{полн} = 2 \cdot 72 + 216\sqrt{2} = 144 + 216\sqrt{2}$. 4. Объем призмы $V = S_{осн} \cdot H$. $V = 72 \cdot 9 = 648$. Ответ: Площадь полной поверхности $144 + 216\sqrt{2}$, объем $648$.

Найдите площадь полной поверхности и объем правильной призмы, если длина диагонали основания 12, а длина диагонали призмы 15.

Ответ ассистента

Другие решения