На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображен треугольник ABC. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины B.

Решение заданий: 10. Медиана делит сторону AC пополам. Найдем координаты точек: Пусть точка A имеет координаты (0, 0), тогда точка C находится на 8 клеток правее и на 1 клетку выше, то есть C(8; 1). Вершина B находится на 7 клеток правее и на 4 клетки выше относительно A, то есть B(7; 4). Середина M стороны AC имеет координаты: $M = (\frac{0+8}{2}; \frac{0+1}{2}) = (4; 0,5)$ Длина медианы BM — это расстояние между точками B(7; 4) и M(4; 0,5): $BM = \sqrt{(7-4)^2 + (4-0,5)^2} = \sqrt{3^2 + 3,5^2} = \sqrt{9 + 12,25} = \sqrt{21,25} \approx 4,61$ Ответ: $\sqrt{21,25}$ или $\approx 4,61$. 11. Чтобы обойти граф, не отрывая карандаша и не проводя ребро дважды (эйлеров путь), нужно, чтобы количество вершин с нечетной степенью было либо 0 (тогда можно начать в любой точке и закончить в ней же), либо 2 (тогда путь начинается в одной вершине с нечетной степенью, а заканчивается в другой). Подсчитаем степени вершин: - A: 2 (четная) - B: 4 (четная) - C: 2 (четная) - D: 2 (четная) - E: 2 (четная) - F: 2 (четная) - G: 4 (четная) - H: 4 (четная) - K: 4 (четная) Все вершины имеют четную степень. Значит, Марта могла начать обход с любой вершины и закончить в той же самой. Однако в задаче сказано, что она закончила в вершине D. Это возможно только если путь — это цикл, но в задаче подразумевается, что путь начался где-то и закончился в D. В графе, где все степени четные, эйлеров путь — это всегда цикл. Вероятно, в условии опечатка или подразумевается, что граф имеет нечетные вершины, но на рисунке все степени четные. Если граф проходим, то начало и конец должны совпадать. Если конец D, то начало должно быть D. Ответ: D. 12. Проверим утверждения: 1) Сумма углов треугольника (любого, не только прямоугольного) равна $180^\circ$. Утверждение ложно. 2) Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, а не высот (точка пересечения высот — ортоцентр). Утверждение ложно. 3) Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак) гарантирует равенство треугольников. Утверждение ложно (так как сказано "могут быть не равны"). Здесь нет верного утверждения среди предложенных. Вероятно, в пункте 3 имелось в виду что-то другое, либо опечатка в условии. Ответ: Нет верных утверждений.