№ 1. На рисунке 64 точка О — центр окружности, <MON = 68°. Найдите угол MKN

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### Задача № 1 В окружности с центром O угол $\angle MON = 68^\circ$. Треугольник $\triangle MON$ — равнобедренный, так как $OM = ON$ (радиусы). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OMN = \angle ONM$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому: $\angle OMN = (180^\circ - 68^\circ) / 2 = 112^\circ / 2 = 56^\circ$. **Ответ: 56°** ### Задача № 2 Дано: радиус $OB = 10$ см, $\angle ABO = 30^\circ$, $AB$ — касательная. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому $\triangle ABO$ — прямоугольный, где $\angle OAB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, значит: $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы, но здесь катет $AO$ (радиус) лежит против угла $30^\circ$ (в другом треугольнике или по определению тригонометрии). Используем $AO = OB \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5$ см (если бы нужно было найти радиус, но он дан). Если нужно найти длину касательной $AB$: $AB = AO / \tan(30^\circ)$ — здесь недостаточно данных, какой именно отрезок ищем, но обычно в таких задачах ищут радиус или сторону. Если $OB$ — гипотенуза ($10$), то $AO = 5$ (катет против $30^\circ$), $AB = 5\sqrt{3}$. **Ответ: 5\sqrt{3} см** (около 8,66 см). ### Задача № 3 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при вершине равен $x$, а углы при основании $52^\circ$. Сумма углов $52^\circ + 52^\circ + x = 180^\circ$. $104^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow x = 76^\circ$. Если же $52^\circ$ — это угол при вершине, то углы при основании равны $(180^\circ - 52^\circ) / 2 = 64^\circ$. Обычно «углы при вершине» — это один, а «углы при основании» — два других. Условие сформулировано как «углы при вершине... равен 52» (опечатка во множественном числе). Скорее всего, имеется в виду один угол при вершине. **Ответ: 64° и 64°**. ### Задача № 4 Дано: $\triangle MNF$, $\angle N = 90^\circ$, $\angle M = 30^\circ$, $FD$ — биссектриса, $FD = 20$ см. Найти $MN$. В $\triangle MNF$: $\angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $FD$ — биссектриса, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. Рассмотрим $\triangle DNF$ (прямоугольный, $\angle N=90^\circ, \angle NFD = 30^\circ$): $DN = FD \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot 0,5 = 10$ см. $NF = FD \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3}/2 = 10\sqrt{3}$. Рассмотрим $\triangle MNF$ (прямоугольный, $\angle M=30^\circ$): $\tan(M) = NF / MN \Rightarrow MN = NF / \tan(30^\circ) = 10\sqrt{3} / (1/\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см. **Ответ: 30 см**