1. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 22$. Ответ: 22. 2. Пусть $\angle A = \alpha$. Биссектриса делит угол A на две части по $\frac{\alpha}{2}$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle CAD = \angle ACB$ (как накрест лежащие). Угол между биссектрисой и стороной BC равен $\frac{\alpha}{2} = 20^\circ$. Значит, $\alpha = 40^\circ$. Ответ: 40^\circ. 3. По рисунку верхнее основание трапеции равно 2 клеткам, нижнее — 5 клеткам. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2} = \frac{2+5}{2} = 3,5$. Ответ: 3,5. 4. Используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a=12$, $b=5$. $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. Ответ: 13 м. 5. В $\triangle ABC$: $\sin B = \frac{AC}{AB}$. $0,5 = \frac{12}{AB} \Rightarrow AB = \frac{12}{0,5} = 24$ см. Ответ: 24 см. 6. Периметр ромба $P=12$, значит сторона $a = \frac{12}{4} = 3$. Площадь ромба $S = a^2 \cdot \sin \alpha = 3^2 \cdot \sin 30^\circ = 9 \cdot 0,5 = 4,5$. Ответ: 4,5. 7. $\angle AOD = 114^\circ$ (центральный угол). $\angle AOB$ и $\angle AOD$ смежные, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$. Угол $\angle ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу AB. Он равен половине центрального угла $\angle AOB$: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$. Ответ: 33^\circ. 8. В $\triangle CBD$ и $\triangle BDA$: 1. $\angle CBD = \angle BDA$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$. 2. Отношение сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{3}{6} = 0,5$ и $\frac{BD}{AD} = \frac{6}{12} = 0,5$. Так как стороны пропорциональны и углы между ними равны, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.