Контрольная работа по геометрии для 8 класса по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники»

### Решение контрольной работы **1. Сравнение углов** Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то $\angle GHF = \angle GEF$ (опираются на дугу $GF$). **Ответ:** а) **2. Центральный и вписанный углы** Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle_{центр} = 80^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle_{впис} = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. **Ответ:** $80^\circ$ и $40^\circ$. **3. Углы четырёхугольника** Вписанный четырехугольник $ABCD$ имеет свойство: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. В треугольнике $ADC$: сумма углов равна $180^\circ$. $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ - 100^\circ = 35^\circ$. **Ответ:** $35^\circ$. **4. Средняя линия трапеции** Для описанной вокруг окружности трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AD + BC = AB + CD$. Высота трапеции $h = 2 \cdot r = 2 \cdot 12 = 24$ см. Так как $\angle A = 90^\circ$, $AB$ является высотой, значит $AB = 24$ см. Сумма оснований: $AD + BC = 24 + 38 = 62$ см. Средняя линия $m = (AD + BC) / 2 = 62 / 2 = 31$ см. **Ответ:** $31$ см. **5. Радиус окружности** Касательная $AB \perp$ радиусу $OB$. Получаем прямоугольный треугольник $OBA$ с прямым углом $B$. По теореме Пифагора $OB^2 + AB^2 = AO^2$. $r^2 + 12^2 = 13^2 \Rightarrow r^2 = 169 - 144 = 25 \Rightarrow r = 5$ см. **Ответ:** $5$ см. **6. Углы четырёхугольника** Равные вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги: $\angle CAD = \angle DBC = 34^\circ$. $\angle BAC = \angle BDC = 52^\circ$. $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 52^\circ + 34^\circ = 86^\circ$. $\angle B = \angle ABD + \angle DBC = 42^\circ + 34^\circ = 76^\circ$. $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$. $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 86^\circ, \angle B = 76^\circ, \angle C = 94^\circ, \angle D = 104^\circ$. **7. Радиус второй окружности** Обозначим радиус искомой окружности как $r$. Ее центр находится на расстоянии $r$ от диаметра и на расстоянии $10 - r$ от центра большой окружности (условие касания изнутри). По теореме Пифагора, если $x = 5$ см — расстояние от центра до точки касания на диаметре: $r^2 + 5^2 = (10 - r)^2$ $r^2 + 25 = 100 - 20r + r^2$ $20r = 75 \Rightarrow r = 3,75$ см. **Ответ:** $3,75$ см.