Отметьте на координатной прямой число 2√43.

### Решение заданий **6. Отметьте на координатной прямой число $2\sqrt{43}$** Преобразуем число: $2\sqrt{43} = \sqrt{2^2 \cdot 43} = \sqrt{4 \cdot 43} = \sqrt{172}$. Так как $13^2 = 169$ и $14^2 = 196$, то $13 < \sqrt{172} < 14$. Поскольку число ближе к 169, чем к 196, оно располагается чуть правее отметки 13. **Ответ: точка между 13 и 14, ближе к 13.** **7. Найдите значение выражения $\frac{3(6a^5)^2}{a^5 \cdot a^7}$ при $a = \sqrt{8}$** Упростим выражение: $\frac{3 \cdot (6^2 \cdot (a^5)^2)}{a^{5+7}} = \frac{3 \cdot 36 \cdot a^{10}}{a^{12}} = \frac{108}{a^2}$. Подставим $a = \sqrt{8}$: $\frac{108}{(\sqrt{8})^2} = \frac{108}{8} = 13{,}5$. **Ответ: 13,5.** **8. Вероятность выступления в третий день** Всего 40 выступлений. В первые два дня по 8 выступлений: $8 \cdot 2 = 16$ выступлений. Остаток выступлений на третий и четвертый дни: $40 - 16 = 24$. Распределены поровну: $24 / 2 = 12$ выступлений в третий день. Вероятность, что спортсмен попадет в третий день: $P = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0{,}3$. **Ответ: 0,3.** **9. Найдите длину отрезка AH** В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) высота $CH$ проведена к гипотенузе $AB$. $\triangle ACH$ подобен $\triangle ABC$. Для $\triangle ACH$ (прямоугольный, $\angle H = 90^\circ$): $\cos A = \frac{AH}{AC}$. В $\triangle ABC$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Отсюда $AC = AB \cdot \cos A$. Так как $\sin A = \frac{2}{3}$, то $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Тогда $AC = 90 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 30\sqrt{5}$. Теперь $AH = AC \cdot \cos A = (30\sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10 \cdot 5 = 50$. **Ответ: 50.**