Привет! Давай разберем задачи с твоего листа. Будем решать последовательно:
**6. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=48°, ∠2=57°.**
Так как прямые параллельны, углы при секущей обладают определенными свойствами. Угол 1 и угол, вертикальный к углу 3 (пусть это будет ∠3'), являются накрест лежащими, но здесь проще рассмотреть треугольник, образованный секущими. Сумма углов треугольника равна 180°.
Рассмотрим внутренние углы треугольника:
- Угол, смежный с ∠1, равен $180° - 48° = 132°$ (но это не нужно).
- Правильнее использовать накрест лежащие углы: ∠1 и нижний угол при секущей равны 48°. Угол 2 равен 57°.
- В треугольнике углы равны: $180° - 48° - 57° = 75°$.
- Угол 3 смежен с этим углом, но по рисунку ∠3 — это внешний угол или внутренний? Если смотреть на рисунок, ∠3 и два угла, равные 48° и 57°, образуют развернутый угол или сумму углов треугольника.
- $\angle 3 = 180° - 48° - 57° = 75°$ (как угол треугольника).
**Ответ: 75°**
**7. Около прямоугольника со сторонами 6 м и 8 м описана окружность. Найдите длину этой окружности.**
Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали $d$.
$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ м.
Длина окружности $C = \pi d = 10\pi$ м.
**Ответ: 3. 10π м**
**8. Радиус окружности, описанной около правильного четырехугольника (квадрата) с периметром 32 см.**
Сторона квадрата $a = 32 / 4 = 8$ см.
Радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
**Ответ: 3. 4\sqrt{2} см**
**9. На каком расстоянии от фонаря стоит человек?**
Используем подобие треугольников. Большой треугольник (фонарь-тень) подобен малому (человек-тень).
$\frac{9}{x + 1} = \frac{2}{1}$, где $x$ — искомое расстояние.
$9 = 2(x + 1)$
$9 = 2x + 2$
$2x = 7$
$x = 3,5$ м.
**Ответ: 3,5 м**
**10. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром O. Угол между касательными 60°. Расстояние AO = 6. Найдите радиус.**
Радиус $r$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Треугольник, образованный центром, точкой А и точкой касания, прямоугольный. Угол при вершине А делится пополам: $60° / 2 = 30°$.
$\sin(30°) = \frac{r}{AO} = \frac{r}{6}$.
$0,5 = \frac{r}{6} \Rightarrow r = 3$.
**Ответ: 3**
**11. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите ВС, если АВ=36.**
Пусть биссектриса угла А пересекает ВС в точке К. Треугольник АВК равнобедренный (так как $\angle BAK = \angle BKA$ как накрест лежащие при параллельных AD и BC), значит $BK = AB = 36$.
Аналогично для биссектрисы угла D, она отсекает на ВС отрезок, равный CD. Так как $AB = CD = 36$, то и второй отрезок равен 36.
$BC = BK + KC = 36 + 36 = 72$.
**Ответ: 72**
**12. Две стороны треугольника 5 см и 21 см, угол между ними 60°.**
Третья сторона $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos(60°)$
$c^2 = 25 + 441 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot 0,5 = 466 - 105 = 361$.
$c = \sqrt{361} = 19$ см.
Площадь $S = 0,5 \cdot a \cdot b \cdot \sin(60°) = 0,5 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4} \approx 45,47$ см².
**Ответ: 19 см, площадь $\frac{105\sqrt{3}}{4}$ см²**
