КР-7 по теме: «Вписанная и описанная окружность треугольника»

Привет! Давай разберем задания из твоего теста по геометрии. ### Вариант 1 1. **Можно ли вписать окружность в прямоугольный треугольник?** Да, в любой треугольник, включая прямоугольный, можно вписать окружность. Её центр лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. 2. **Выпиши, какие из треугольников описаны вокруг окружности (рис. 2)?** На рис. 2 окружность вписана в треугольник (стороны треугольника касаются окружности), поэтому искомый треугольник — тот, который «снаружи» окружности. Судя по чертежу, это треугольник, образованный пересекающимися прямыми (границами). 3. **Где расположен центр вписанной в треугольник окружности?** Центр вписанной окружности всегда расположен в точке пересечения биссектрис углов треугольника. 4. **Найди периметр треугольника ABC (рис. 4).** По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Отрезки от вершин до точек касания: $AF=AF$, $BK=BK$, $CE=CE$. На рисунке видны отрезки: от вершины A до точек касания — 5 (значит, обе стороны касания по 5), от C до точек касания — 5, от B до точек касания — 4. Периметр равен сумме всех сторон: $P = (5+5) + (5+4) + (4+5) = 10 + 9 + 9 = 28$. 5. **АВ и АС — касательные, ∠АОВ = 52°. Найди ∠САО (рис. 5).** Центр окружности О и точка А соединены отрезком, который является биссектрисой угла ВАС. Отрезок ОВ — радиус, проведенный в точку касания, значит, $\angle OBA = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике АВО $\angle OAB = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$. Так как АО — биссектриса, то $\angle CAO = \angle OAB = 38^\circ$. ### Вариант 2 1. **Можно ли описать окружность вокруг равнобедренного треугольника?** Да, вокруг любого треугольника можно описать окружность. Её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. 2. **Выпиши, какие из треугольников вписаны в окружность (рис. 2)?** Треугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на окружности. На рис. 2 это треугольник, вершины которого — точки на окружности. 3. **Где расположен центр описанной около треугольника окружности?** Центр описанной окружности расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 4. **Найди периметр треугольника MNP (рис. 4).** (Здесь не видно числовых данных на рисунке 4 для варианта 2, поэтому расчет провести невозможно). 5. **МК и NK — касательные, ∠КОМ = 75°. Найди ∠NKO (рис. 5).** Рассмотрим треугольник МКО (прямоугольный, так как МК — касательная, ОМ — радиус). $\angle KMO = 90^\circ$. $\angle MKO = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$. По свойству касательных, треугольники МКО и NКО равны, поэтому $\angle NKO = \angle MKO = 15^\circ$.