На всех сторонах произвольного четырёхугольника как на диаметрах построили круги. Всегда ли эти круги покроют весь четырёхугольник?

Да, круги, построенные на всех четырёх сторонах произвольного четырёхугольника как на диаметрах, всегда полностью покрывают этот четырёхугольник. ### Доказательство (кратко): 1. Рассмотрим произвольную точку $M$ внутри четырёхугольника. 2. Соединим точку $M$ с вершинами четырёхугольника. Образуются четыре треугольника с общей вершиной $M$ и основаниями — сторонами четырёхугольника. 3. В каждом таком треугольнике сумма углов при основании (угла между стороной четырёхугольника и отрезком, соединяющим $M$ с вершиной) меньше $180^\circ$. 4. Можно доказать, что для любой точки внутри фигуры хотя бы один из углов, опирающихся на сторону как на диаметр (угол $\angle AMB$, где $AB$ — сторона), будет тупым или прямым. Если угол $\angle AMB \ge 90^\circ$, то точка $M$ лежит внутри или на границе круга, построенного на диаметре $AB$. 5. В силу геометрических свойств, точка внутри четырёхугольника обязательно попадет в область, покрытую хотя бы одним из таких кругов. **Ответ:** Да, покроют.