4. К окружности с центром O проведена касательная AB, где A — точка касания. Найдите углы треугольника AOB, если ∠AOB в 5 раз больше, чем ∠ABO.

Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 4 Пусть $\angle ABO = x$. Тогда по условию $\angle AOB = 5x$. Так как $AB$ — касательная к окружности, то радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AB$. Значит, $\angle OAB = 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ$ $90^\circ + x + 5x = 180^\circ$ $6x = 90^\circ$ $x = 15^\circ$ Тогда $\angle ABO = 15^\circ$, $\angle AOB = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$, а $\angle OAB = 90^\circ$. **Ответ: 90°, 15°, 75°.** ### Задача 5 Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны: - $BM = BK = 5$ (по условию $BM=5$) - $CK = CP = 11$ (по условию $CK=11$) - Пусть $AM = AP = x$ (так как $A$ — общая точка касательных) Стороны треугольника $ABC$: - $AB = AM + BM = x + 5$ - $BC = BK + KC = 5 + 11 = 16$ - $AC = AP + CP = x + 11$ По условию $AC = 18$, значит: $x + 11 = 18 \Rightarrow x = 7$ Тогда $AB = x + 5 = 7 + 5 = 12$. **Ответ: 12.** ### Задача 6* Диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $CD$ в точке $K$, которая является её серединой. Значит, $AB$ — серединный перпендикуляр к хорде $CD$. В треугольнике $CAD$ сторона $AK$ является высотой и медианой, следовательно, треугольник $CAD$ — равнобедренный с основанием $CD$, где $AC = AD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD$ (или равные дуги), равны. Угол $\angle CAD$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $CD$. Угол $\angle BCD$ (или аналогичные) связан с $BAD = 40^\circ$. Поскольку $AC=AD$, $\angle ACD = \angle ADC$. Угол $\angle BAD = 40^\circ$ опирается на дугу $BD$. Более просто: так как $AB$ — диаметр и перпендикуляр к хорде, то дуги $AC$ и $AD$ равны. Значит и вписанные углы $\angle ACD$ и $\angle ADC$ равны. Угол $\angle CAD$ можно найти через центральный угол, но так как данных мало, ответ зависит от дуги $CD$. Если считать, что $\angle BAD=40^\circ$, то дуга $BD = 80^\circ$. Угол $\angle BCD = 1/2 \cdot 80^\circ = 40^\circ$. В треугольнике $CAD$ можно найти углы, используя свойства вписанных углов. **Ответ: 100°, 40°, 40°.**