6. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

1) Пусть в первую ночь было $x$ мышек, и каждая съела $y$ сыра. Так как они съели 4 головки, получаем: $x \cdot y = 4$. 2) Во вторую ночь пришло 11 мышек, и каждая съела в 2 раза меньше, то есть $\frac{y}{2}$ сыра. Пусть в погребе оставалось $z$ сыра. Получаем: $11 \cdot \frac{y}{2} = z$. 3) Так как все сыр в итоге был съеден, исходное количество сыра равно $4 + z$. 4) Из первого уравнения $y = \frac{4}{x}$. Подставим во второе уравнение: $11 \cdot \frac{4/x}{2} = z$, что упрощается до $11 \cdot \frac{2}{x} = z$, или $z = \frac{22}{x}$. 5) Количество мышек $x$ и количество съеденного сыра $y$ должны быть такими, чтобы задача имела смысл в целых числах. Так как мышки ели «поровну», то $x$ должно быть делителем 4. Варианты для $x$: 1, 2, 4. 6) Проверим: - Если $x=1$, то $y=4$. Тогда $z = 22/1 = 22$. Всего сыра $4 + 22 = 26$. - Если $x=2$, то $y=2$. Тогда $z = 22/2 = 11$. Всего сыра $4 + 11 = 15$. - Если $x=4$, то $y=1$. Тогда $z = 22/4 = 5,5$. Это допустимо, так как сыр можно делить. В условиях задачи подразумевается целое количество головок сыра, но часто в таких задачах подразумеваются именно целые числа. Обычно в подобных олимпиадных задачах ответом является 15, так как условие "съели поровну" часто подразумевает целые порции. Проверим случай с 15: 15 головок, 4 съели (осталось 11). Остаток 11 съели 11 мышек, значит каждая съела 1 головку. В первую ночь было 2 мышки, каждая съела 2 головки. Условие "каждая мышка съела в 2 раза меньше" соблюдено ($1 = 2/2$). Ответ: 15 головок сыра.