Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности. AB = 11, BC = 6, CD = 9. Найдите AD.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Они все относятся к темам окружностей и четырехугольников. ### 7. Трапеция ABCD По свойству описанного четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$ $11 + 9 = 6 + AD$ $20 = 6 + AD$ $AD = 14$. **Ответ: 14** ### 8. Треугольник ABC По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = 2R$. Радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \sin 45^\circ} = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$. **Ответ: 6** ### 9. Квадрат ABCD Пусть сторона квадрата равна $a$. Точка $O$ — середина $CD$, значит $OD = a/2$, $AD = a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$, где $OA$ — радиус (гипотенуза), равный 5: $OA^2 = OD^2 + AD^2$ $5^2 = (a/2)^2 + a^2$ $25 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4}$ $100 = 5a^2$ $a^2 = 20$. Площадь квадрата равна $a^2 = 20$. **Ответ: 20** ### 10. Равносторонний треугольник Расстояние от центра до стороны (апофема $r$) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности $R = 2r$, а сторона $a = R\sqrt{3}$. $R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. $a = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. **Ответ: 3** ### 11. Прямоугольник Диагональ $d$ равна диаметру описанной окружности: $d = 10$. Пусть $\alpha$ — угол между стороной $b$ и диагональю. Тогда $\sin \alpha = \frac{b}{d} = 0,6$. Значит, $b = 10 \cdot 0,6 = 6$. По теореме Пифагора вторая сторона $a = \sqrt{d^2 - b^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Площадь $S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48$. **Ответ: 48**