1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 20 и 82.

Привет! Давай решим задания из контрольной работы. ### 1. НОД и НОК чисел 20 и 82 - Разложим числа на множители: $20 = 2^2 \cdot 5$ $82 = 2 \cdot 41$ - НОД(20; 82) = 2. - НОК(20; 82) = $2^2 \cdot 5 \cdot 41 = 20 \cdot 41 = 820$. - Проверка делимости НОК (820) на: - 2: $820 / 2 = 410$ (да) - 3: $8+2+0=10$, 10 не делится на 3 (нет) - 5: оканчивается на 0 (да) - 9: $8+2+0=10$, 10 не делится на 9 (нет) - 10: оканчивается на 0 (да) - Разложение числа 820 на простые множители: $820 = 2^2 \cdot 5 \cdot 41$. ### 2. Вычисления $(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) \cdot 300 - (2 \frac{1}{5} + 3 \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{23}) \cdot \frac{25}{16}$ 1) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6-5}{30} = \frac{1}{30}$ 2) $\frac{1}{30} \cdot 300 = 10$ 3) $3 \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{23} = \frac{23}{7} \cdot \frac{7}{23} = 1$ 4) $2 \frac{1}{5} + 1 = 3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$ 5) $\frac{16}{5} \cdot \frac{25}{16} = 5$ 6) $10 - 5 = 5$ **Ответ: 5.** ### 3. Сравнение чисел $|7^3 - 4^4| = |343 - 256| = |87| = 87$ $|(-3)^4| - |\frac{7}{8}| = 81 - \frac{7}{8} = 80 \frac{1}{8} = 80.125$ Так как $87 > 80.125$, то первое выражение больше. ### 4. Решение уравнения $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}x + \frac{1}{16}x = 5 - 3\frac{1}{16}x$ Приведем к общему знаменателю 16: $(\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16})x = 5 - \frac{49}{16}x$ $\frac{15}{16}x = 5 - \frac{49}{16}x$ $\frac{15}{16}x + \frac{49}{16}x = 5$ $\frac{64}{16}x = 5$ $4x = 5$ $x = 1.25$ **Ответ: 1.25.** ### 5. Изменение окружности и площади Формулы: $C = 2\pi R$, $S = \pi R^2$. - а) Если R увеличить в 2 раза, то C увеличится в 2 раза, а $S$ увеличится в $2^2 = 4$ раза. - б) Если R уменьшить в 5 раз, то C уменьшится в 5 раз, а $S$ уменьшится в $5^2 = 25$ раз. - в) Если R увеличить в $12.5$ ($25/2$) раза, то C увеличится в 12.5 раз, а $S$ увеличится в $(12.5)^2 = 156.25$ раза. ### 6. Решение уравнения $||1 - x^2|| = 8$ Это значит, что $1 - x^2 = 8$ или $1 - x^2 = -8$. 1) $1 - x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = -7$ (корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным). 2) $1 - x^2 = -8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$. **Ответ: 3; -3.**