1) Решите уравнение 2cos^2x - 5cosx + 2 = 0.

1) Решим уравнение $2\cos^2x - 5\cos x + 2 = 0$. Введем замену: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни: $t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$ (не подходит, так как $|\cos x| \le 1$), $t_2 = \frac{5 - 3}{4} = 0,5$. Значит, $\cos x = 0,5$. Решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) Найдем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}, -2\ ext{pi}]$. Отрезок можно записать как $[-3,5\pi, -2\pi]$. Серии корней: - $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ - $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ Проверим значения: - При $n = -1$ для $x_1$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -1,66\pi$ (не входит, так как $-1,66\pi > -2\pi$). - При $n = -2$ для $x_1$: $\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \approx -3,66\pi$ (не входит, так как $-3,66\pi < -3,5\pi$). - При $n = -1$ для $x_2$: $-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -2,33\pi$ (входит, $-3,5\pi \le -2,33\pi \le -2\pi$). - При $n = -2$ для $x_2$: $-\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4,33\pi$ (не входит). - Попробуем $n=0$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ (не входит), $-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ (входит). - Проверим еще $n=-1$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -1,66\pi$ (вне отрезка). - Проверим граничные значения: $-\frac{7\pi}{2} = -3,5\pi$, $-2\pi = -2\pi$. Корни: $-\frac{7\pi}{3}$ (это $\approx -2,33\pi$) $-\frac{5\pi}{3}$ — это не то, давайте проверим точнее. $\cos x = 1/2$ при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7π}{3}$. Это $\approx -2,33\pi$, входит в $[-3,5\pi; -2\pi]$. При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -1,66\pi$ (не входит, так как $>-2\pi$). При $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \approx -4,33\pi$ (не входит). При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \approx -3,66\pi$ (не входит). Добавим $-\frac{7\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$... нет, стоп. Давайте еще раз: $-3,5\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -2\pi \Rightarrow -3,5 \le 1/3 + 2n \le -2 \Rightarrow -3,83 \le 2n \le -2,33 \Rightarrow n$ не целое. $-3,5\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -2\pi \Rightarrow -3,5 \le -1/3 + 2n \le -2 \Rightarrow -3,16 \le 2n \le -1,66 \Rightarrow n = -1$ (так как $2n$ должно быть в диапазоне, $2(-1) = -2$, что попадает в $(-3,16; -1,66)$). Значит $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Проверим $x = -\frac{\pi}{3} + 2π(-1) = -\frac{7π}{3}$. Есть ли еще? Может $-\frac{11π}{3}$? Нет, $-3,66 < -3,5$. **Ответ:** $-\frac{7π}{3}$.