35.13. Найдите область определения функции:

Привет! Давай разберем эти задания на нахождение области определения функции. Область определения $D(y)$ — это все значения $x$, при которых выражение имеет смысл. Помни два главных правила: знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. ### Задание 35.13. Найдите область определения функции: **а) $f(x) = \frac{5}{x^2 - 6x + 8}$** Знаменатель $x^2 - 6x + 8 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1=2, x_2=4$. Значит, $x \neq 2$ и $x \neq 4$. **Ответ:** $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$. **б) $f(x) = \frac{2}{x - 1} + \frac{5 - x}{3x^2 + 7x + 4}$** 1) $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. 2) $3x^2 + 7x + 4 \neq 0$. Корни через дискриминант: $D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1$. $x = \frac{-7 \pm 1}{6}$. $x_1 = -1, x_2 = -4/3$. **Ответ:** $D(f) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. *(Тут подразумевается объединение всех выколотых точек)*. **в) $f(x) = \frac{8x - 1}{x^4 - 7x^2 + 6}$** Знаменатель $x^4 - 7x^2 + 6 \neq 0$. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 7t + 6 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 6$. Значит, $x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1$ и $x^2 \neq 6 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{6}$. **Ответ:** $D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$. ### Задание 35.14. Найдите $D(y)$, если: **а) $y = \sqrt{x - 7}$** Подкоренное выражение должно быть $\ge 0$: $x - 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7$. **Ответ:** $[7; +\infty)$. **б) $y = \sqrt{2x + 9}$** $2x + 9 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -9 \Rightarrow x \ge -4.5$. **Ответ:** $[-4.5; +\infty)$. **в) $y = \frac{5}{\sqrt{x - 5}}$** Здесь корень в знаменателе, значит подкоренное выражение должно быть строго $> 0$: $x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5$. **Ответ:** $(5; +\infty)$.