Привет! Давай решим твою самостоятельную работу по тригонометрии. Вот пошаговые решения:
1. $10\cos^2 x + 17\cos x + 6 = 0$
Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $10t^2 + 17t + 6 = 0$.
Дискриминант $D = 17^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
$t_{1,2} = \frac{-17 \pm 7}{20}$.
$t_1 = -0.5$, $t_2 = -0.6$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$; $x = \pm \arccos(-0.6) + 2\pi n$, $k, n \in \mathbb{Z}$.
2. $3\cos^2 x + 10\sin x - 10 = 0$
Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $3(1 - \sin^2 x) + 10\sin x - 10 = 0 \Rightarrow 3 - 3\sin^2 x + 10\sin x - 10 = 0$.
$-3\sin^2 x + 10\sin x - 7 = 0 \Rightarrow 3\sin^2 x - 10\sin x + 7 = 0$.
Пусть $t = \sin x$, $3t^2 - 10t + 7 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = \frac{7}{3}$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3. $2\sin^2 x + 9\sin x \cos x + 10\cos^2 x = 0$
Разделим всё уравнение на $\cos^2 x$ (так как $\cos x = 0$ не является корнем):
$2\tan^2 x + 9\tan x + 10 = 0$. Пусть $t = \tan x$.
$2t^2 + 9t + 10 = 0$. $D = 81 - 80 = 1$. $t_{1,2} = \frac{-9 \pm 1}{4}$.
$t_1 = -2, t_2 = -2.5$.
Ответ: $x = \arctan(-2) + \pi k$; $x = \arctan(-2.5) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.
4. $3\tan x - 12\cot x + 5 = 0$
Заменим $\cot x = \frac{1}{\tan x}$: $3\tan x - \frac{12}{\tan x} + 5 = 0$.
Умножим на $\tan x$ ($ an x \neq 0$): $3\tan^2 x + 5\tan x - 12 = 0$.
$D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
$t_{1,2} = \frac{-5 \pm 13}{6}$. $t_1 = ?rac{4}{3}$, $t_2 = -3$.
Ответ: $x = \arctan(4/3) + \pi k$; $x = \arctan(-3) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.
5. $10\sin^2 x - 3\sin 2x = 8$
Раскроем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $8 = 8(\sin^2 x + \cos^2 x)$:
$10\sin^2 x - 6\sin x \cos x = 8\sin^2 x + 8\cos^2 x$
$2\sin^2 x - 6\sin x \cos x - 8\cos^2 x = 0$.
Делим на $\cos^2 x$: $2\tan^2 x - 6\tan x - 8 = 0 \Rightarrow \tan^2 x - 3\tan x - 4 = 0$.
Корни: $t_1 = 4, t_2 = -1$.
Ответ: $x = \arctan(4) + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.
6. $11\sin 2x - 6\cos^2 x + 8\cos 2x = 8$
Используем формулы: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $\sin 2x$ оставим.
$11\sin 2x - 3(1 + \cos 2x) + 8\cos 2x = 8$
$11\sin 2x - 3 - 3\cos 2x + 8\cos 2x = 8$
$11\sin 2x + 5\cos 2x = 11$.
Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Делим на $\sqrt{11^2 + 5^2} = \sqrt{146}$.
$\frac{11}{\sqrt{146}}\sin 2x + \frac{5}{\sqrt{146}}\cos 2x = \frac{11}{\sqrt{146}}$.
Так как $\frac{11}{\sqrt{146}} > 1$, уравнение не имеет решений, так как максимум функции $11\sin 2x + 5\cos 2x$ равен $\sqrt{146} \approx 12.08$, что больше 11, но в задании уравнение не приводится к виду $|a\sin x + b\cos x| \le \sqrt{a^2+b^2}$.
Проверим еще раз: если уравнение $11\sin 2x + 5\cos 2x = 11$ верно, то решений нет, так как $11 > \sqrt{146}$.
Ответ: Нет корней.
