1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°.

### Задача 1 Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит, $\angle KOM = 90^\circ$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому диагональ $NP$ делит угол $MNP$ пополам: $\angle ONP = \angle ONM = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. В прямоугольном треугольнике $KMO$ (или $KNO$) сумма острых углов равна $90^\circ$. Рассмотрим $\triangle KNO$ (так как угол при вершине $O$ прямой, а $N$ — вершина, известная нам): $\angle OKN = 90^\circ - \angle ONK = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Так как $KM$ делит угол $K$ пополам, то $\angle MKO = \angle PKO = 50^\circ$, а $\angle KMO = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. Углы треугольника $KMO$: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$. ### Задача 2 **а) Доказательство:** Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Угол $\angle AMB$ равен углу $\angle MAD$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$). По условию $\triangle ABM$ равнобедренный ($AB = BM$), значит, $\angle BAM = \angle BMA$ (углы при основании). Следовательно, $\angle BAM = \angle MAD$. Раз углы равны, то $AM$ — биссектриса угла $BAD$. **б) Нахождение периметра:** 1. Так как $AM$ — биссектриса, то $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AB = BM$. 2. В параллелограмме $AB = CD = 8$ см. Значит, $BM = 8$ см. 3. Сторона $BC = BM + MC = 8 + 4 = 12$ см. 4. Периметр параллелограмма: $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ см. **Ответ: 1) $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$; 2) 40 см.**