Периметр равностороннего треугольника равен 12√3 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

### 1 Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. Его периметр $P = 3a = 12\sqrt{3}$. Отсюда $a = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см. Радиус $r$ вписанной окружности равностороннего треугольника находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ $r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$ см. **Ответ:** 2 см. ### 2 Свойство описанной трапеции: суммы противоположных сторон равны. То есть сумма оснований ($a + b$) равна сумме боковых сторон ($c + c = 2c$). Так как трапеция равнобедренная, боковая сторона $c = 8$ см. Сумма оснований $a + b = c + c = 8 + 8 = 16$ см. Периметр $P = a + b + c + c = 16 + 8 + 8 = 32$ см. **Ответ:** 32 см. ### 3 Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит, гипотенуза $c = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20$ см. Один катет $a = 16$ см. По теореме Пифагора находим второй катет $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см. Периметр $P = a + b + c = 16 + 12 + 20 = 48$ см. Площадь $S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см$^2$. **Ответ:** Периметр 48 см, площадь 96 см$^2$.