а) Решите уравнение cos 9x - cos 7x = √2 sin x.

а) Решение уравнения: $\\cos 9x - \cos 7x = \sqrt{2} \sin x$ Применим формулу разности косинусов $\\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$: $-2 \sin \frac{9x + 7x}{2} \sin \frac{9x - 7x}{2} = \sqrt{2} \sin x$ $-2 \sin 8x \sin x = \sqrt{2} \sin x$ $-2 \sin 8x \sin x - \sqrt{2} \sin x = 0$ $-\sin x (2 \sin 8x + \sqrt{2}) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2 \sin 8x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin 8x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $8x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}$ $8x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}$ Ответ (а): $x = \pi k; x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}; x = -\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, k, n \in \mathbb{Z}$ б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\pi]$: 1) Для $x = \pi k$: $-\frac{3\pi}{2} \le \pi k \le -\pi \implies -1.5 \le k \le -1 \implies k = -1$. $x = -\pi$. 2) Для $x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} = \frac{- \pi + 8\pi n}{32}$: $-\frac{3\pi}{2} \le \frac{8\pi n - \pi}{32} \le -\pi$ $-48\pi \le 8\pi n - \pi \le -32\pi$ $-47 \le 8n \le -31$ $-5.875 \le n \le -3.875 \implies n = -5, -4$. При $n = -5: x = \frac{- \pi - 40\pi}{32} = -\frac{41\pi}{32}$ При $n = -4: x = \frac{- \pi - 32\pi}{32} = -\frac{33\pi}{32}$ 3) Для $x = -\frac{3\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} = \frac{- 3\pi + 8\pi n}{32}$: $-\frac{3\pi}{2} \le \frac{8\pi n - 3\pi}{32} \le -\pi$ $-48\pi \le 8\pi n - 3\pi \le -32\pi$ $-45 \le 8n \le -29$ $-5.625 \le n \le -3.625 \implies n = -5, -4$. При $n = -5: x = \frac{- 3\pi - 40\pi}{32} = -\frac{43\pi}{32}$ При $n = -4: x = \frac{- 3\pi - 32\pi}{32} = -\frac{35\pi}{32}$ Ответ (б): $-\frac{43\pi}{32}; -\frac{41\pi}{32}; -\frac{35\pi}{32}; -\frac{33\pi}{32}; -\pi$.