1) BC - касательная, OB - радиус, значит OB perp BC, тогда треугольник OBC - прямоугольный и угол BOC = 67 градусов. Ответ: 67 градусов.

Допущение: задачи основаны на свойствах касательных к окружности (радиус перпендикулярен касательной, треугольники образованы радиусами). 2) В треугольнике $\triangle OBC$ угол $\angle OBC = 90^\circ$ (радиус перпендикулярен касательной). Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle x = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Ответ: $50^\circ$. 3) Аналогично, $\angle OBC = 90^\circ$. Тогда $\angle x = 180^\circ - 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$. Ответ: $36^\circ$. 4) Угол $\angle HQC = 90^\circ$. Угол $\angle HCA = 150^\circ$ — это внешний угол треугольника $\triangle HQC$, либо $\angle HCQ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Тогда $\angle x = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Ответ: $60^\circ$. 5) Угол $\angle STR = 90^\circ$. Угол $\angle SRD = 140^\circ$, значит внутренний угол $\angle SRT = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Тогда $\angle x = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Ответ: $50^\circ$. 6) Угол $\angle FDH = 90^\circ$. Внешний угол $\angle FDC = 135^\circ$, тогда внутренний $\angle FDH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ (здесь $H$ — точка касания, значит $\angle FHC=90$, но $D$ на прямой? Судя по рисунку, прямая касается в точке $H$). Если $\angle FDC = 135^\circ$, то $\angle FDH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. В треугольнике $\triangle FDH$ углы $\angle FHD = 90^\circ$, $\angle FDH = 45^\circ$, тогда $\angle x = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$. 7) Радиусы $PD=PM$ (тут, вероятно, обозначено равенство). Треугольник $\triangle PDM$ равнобедренный, $\angle PDM = \angle PMD = x$. Угол $\angle PDM = 90^\circ$ (касательная). Если $\triangle PDM$ прямоугольный, то $\angle x = (180-90)/2 = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$. 8) $NP=NK$ (радиусы). Треугольник $\triangle NPL$ (касательная, $90^\circ$ в точке $P$). Если $\angle NLP = x$, то $\angle K = x$ (так как $NK=NP$). Угол $\angle P = 90^\circ$. $\triangle NKL$ — треугольник? Нет, здесь $NK$ — радиус, касательная в $K$. Угол $\angle LKP = 90^\circ$. Если $\angle L = x$, то $\angle LPK = 90 - x$. Также $\angle NPK = 180 - 2x$. Из $\triangle NPL$: $\angle N + \angle L + \angle P = 180$, где $\angle P = 90$. Тогда $\angle N = 90-x$. Но в равнобедренном $\triangle NPK$, $\angle N = 180 - 2(90-x) = 2x$. Т.е. $2x + x + 90 = 180$, $3x=90$, $x=30^\circ$. Ответ: $30^\circ$. 9) $\triangle NPK$ равнобедренный ($NP=NK$), углы при основании равны $35^\circ$. Угол $\angle NPK = 180 - 35 - 35 = 110^\circ$. Прямая касается в $K$, значит $\angle PKT = 90^\circ$. $\angle KPT = 180 - 90 - 35 = 55^\circ$. В треугольнике $\triangle KPT$: $\angle K = 90^\circ, \angle T = 35^\circ$, тогда $\angle PKT$ (внутренний) $= 90$, но $x$ — это угол $\angle PKT$ (весь)? Нет, $x$ — это угол $\angle KPT$ или $\angle PKT$? Судя по дуге, $x = \angle KPT$. Ответ: $55^\circ$.