5. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

### Решение задачи 5 Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $CD$ — медиана, а $CE$ — биссектриса прямого угла. Угол $\angle DCE = 18^\circ$. 1. Известно, что биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$. То есть $\angle ACE = 45^\circ$ и $\angle BCE = 45^\circ$. 2. Медиана $CD$, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, $\triangle ACD$ — равнобедренный ($AC=CD$), и углы при основании равны: $\angle CAD = \angle ADC$. 3. Так как $\angle ACE = 45^\circ$, а $\angle DCE = 18^\circ$, то $\angle ACD = \angle ACE - \angle DCE = 45^\circ - 18^\circ = 27^\circ$. 4. В равнобедренном треугольнике $ACD$: $\angle CAD = (180^\circ - \angle ACD) / 2 = (180^\circ - 27^\circ) / 2 = 153^\circ / 2 = 76,5^\circ$. 5. Второй острый угол треугольника $ABC$: $90^\circ - 76,5^\circ = 13,5^\circ$. 6. Больший угол равен $76,5^\circ$. **Ответ: 76,5** ### Решение задачи 11 1. Радиус вписанной окружности $r = 3$. Высота трапеции $h = 2r = 6$. 2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Точка $E$ делит $AB$ на отрезки $AE$ и $EB$. По условию $BE = 2$. 3. Если $BC$ — меньшее основание, то $BK = BE = 2$ (где $K$ — точка касания на $BC$). 4. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и разностью оснований, можно найти стороны. В равнобедренной трапеции: $AE = (AD - BC) / 2$. Также $AE$ равно $AF$ (точка касания на $AD$). 5. Сумма оснований $AD + BC = AB + CD$. Пусть $BC = 2x$ (из симметрии, $x=2$ если $BE$ - половина $BC$, но здесь $E$ на $AB$, так что $BE=2$ значит $BK=2$). 6. Площадь трапеции $S = h \cdot (AD+BC)/2 = 6 \cdot (AE + BC) = 6 \cdot (AE + 2 + 2) = 6 \cdot (AE + 4)$. 7. В прямоугольном треугольнике с катетами $h=6$ и $AE-2$ (проекция боковой стороны) и гипотенузой $AB = AE+2$. По теореме Пифагора: $6^2 + (AE-2)^2 = (AE+2)^2$. 8. $36 + AE^2 - 4AE + 4 = AE^2 + 4AE + 4$. 9. $36 = 8AE \Rightarrow AE = 4,5$. 10. Площадь $S = 6 \cdot (4,5 + 4) = 6 \cdot 8,5 = 51$. **Ответ: 51** ### Решение задачи 6 1. Всего вопросов: $24$. 2. Выученных вопросов: $24 - 3 = 21$. 3. Вероятность того, что попадется выученный вопрос: $P = 21 / 24 = 7 / 8 = 0,875$. **Ответ: 0,875**