Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Question

Вопрос:

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $\angle A$ и $\angle B$ — острые углы прямоугольного треугольника $ABC$ ($C = 90^\circ$). 1. Проведены высота $CH$, биссектриса $CD$ и медиана $CM$ (по условию из вершины прямого угла). В обозначениях на рисунке: $CH$ — высота, $CD$ — биссектриса, $CM$ — медиана (известно, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть $CM=AM=BM$). 2. Известно, что угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$ равен $14^\circ$ (то есть $\angle MCD = 14^\circ$). 3. Формула для угла $\alpha$ между медианой и биссектрисой, проведенными из прямого угла: $\alpha = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$. 4. Так как $\angle A + \angle B = 90^\circ$, составим систему уравнений: $|\angle A - \angle B| = 2 \cdot 14^\circ = 28^\circ$ $\angle A + \angle B = 90^\circ$ 5. Решим систему (предположим $\angle A > \angle B$): $2\angle A = 118^\circ \implies \angle A = 59^\circ$ $\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$ Меньший угол равен $31^\circ$. **Ответ: 31**

Ответ ассистента

Другие решения