В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём

Question

Вопрос:

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании, $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). 1. Высота пирамиды $SO = H = 2$. 2. Боковое ребро $SC = L = 5$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$, где $SC$ — гипотенуза, $SO$ — катет, $OC$ — катет. По теореме Пифагора: $OC^2 = SC^2 - SO^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$. Значит, $OC = \sqrt{21}$. 4. $OC$ — это половина диагонали квадрата $AC$ (так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам). Тогда вся диагональ $AC = 2 \cdot OC = 2\sqrt{21}$. 5. Площадь квадрата $S_{base}$ можно найти через диагональ: $S_{base} = \frac{1}{2} \cdot d^2 = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{21})^2 = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 21) = 2 \cdot 21 = 42$. 6. Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot H$. $V = \frac{1}{3} \cdot 42 \cdot 2 = 14 \cdot 2 = 28$. **Ответ: 28.**

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём

Ответ ассистента

Другие решения