342. Доска толщиной 5 см плавает в воде, погрузившись на 70%. Поверх воды наливают слой керосина толщиной в 1 см. На сколько будет выступать доска над поверхностью керосина?

Для решения задачи воспользуемся условием плавания тел: на доску действует сила тяжести, которая уравновешивается силой Архимеда. Сила тяжести равна $F_{тяж} = m \cdot g = \rho_{д} \cdot S \cdot h \cdot g$, где $\rho_{д}$ — плотность доски, $S$ — площадь сечения доски. 1. В первом случае доска плавает в воде, погрузившись на 70% ($0,7h$). Сила Архимеда равна силе тяжести: $\rho_{в} \cdot S \cdot 0,7h \cdot g = \rho_{д} \cdot S \cdot h \cdot g$. Отсюда плотность доски $\rho_{д} = 0,7 \cdot \rho_{в} = 0,7 \cdot 1000 = 700 \, \text{кг/м}^3$. 2. Во втором случае поверх воды наливают слой керосина высотой $h_{к} = 1 \, \text{см} = 0,01 \, \text{м}$. Пусть $x$ — высота той части доски, которая выступает над поверхностью керосина. Тогда высота части доски, погруженной в керосин, равна $h_{к} = 0,01 \, \text{м}$, а высота части, погруженной в воду, равна $h_{в} = h - h_{к} - x = 0,05 - 0,01 - x = 0,04 - x$. 3. Условие равновесия: $\rho_{д} \cdot S \cdot h \cdot g = F_{А1} + F_{А2} = \rho_{к} \cdot S \cdot h_{к} \cdot g + \rho_{в} \cdot S \cdot h_{в} \cdot g$. Сокращаем на $S \cdot g$: $\rho_{д} \cdot h = \rho_{к} \cdot h_{к} + \rho_{в} \cdot (0,04 - x)$ $700 \cdot 0,05 = 800 \cdot 0,01 + 1000 \cdot (0,04 - x)$ $35 = 8 + 40 - 1000x$ $35 = 48 - 1000x$ $1000x = 13$ $x = 0,013 \, \text{м} = 1,3 \, \text{см}$. Ответ: доска будет выступать над поверхностью керосина на 1,3 см.