На рисунке 271 точка О — центр окружности, <AOC = 50°. Найдите угол BCO.

### Вариант 1 1. В треугольнике $\triangle OBC$ стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами одной окружности, поэтому $OB = OC$, а значит, треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Так как $\triangle OBC$ — это часть треугольника $\triangle ABC$, а $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$, то $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC) / 2$. В условии дан угол $\angle AOC = 50^\circ$. Поскольку точки $A, O, B$ лежат на одной прямой (диаметр), $\angle BOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Тогда $\angle BCO = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$. **Ответ: 25°** 2. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. У них $OA=OB=OC=OD$ (как радиусы), а углы $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. Значит, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AD = BC$. 3. Окружность — это множество точек, равноудаленных от центра. На рисунке 58 на окружности лежат точки $A, C, D$. Точка $B$ внутри, $M$ вне, $E$ внутри. **Ответ: A, C, D** 4. Угол $\angle AOC$ — центральный, а угол $\angle ABC$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $AC$. По теореме о центральном угле, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$. **Ответ: 64°** ### Вариант 2 1. Треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB$ (радиусы). Углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, $\angle BOC = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100°** 2. В окружности с центром $O$ углы $\angle MOK$ и $\angle PON$ равны как вертикальные. Треугольники $\triangle MOK$ и $\triangle PON$ равны по двум сторонам (радиусы) и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство дуг или накрест лежащих углов. Так как $\angle OMK = \angle ONP$ (как углы при основании равнобедренных треугольников), то $MK \parallel PN$ по признаку параллельности прямых. 3. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью (включая саму окружность). На рисунке 58 внутри или на границе круга лежат точки $A, B, C, D, E$. **Ответ: A, B, C, D, E** 4. Треугольник $\triangle RNP$ вписан в окружность, где $RN$ — диаметр. По свойству вписанных углов, опирающихся на диаметр, угол, лежащий напротив диаметра, равен $90^\circ$ (угол $\angle RPN = 90^\circ$). В треугольнике $\triangle RNP$ сумма углов $180^\circ$. $\angle MNP = 180^\circ - 90^\circ - 96^\circ$? Подождите, в условии $\angle RNP = 96^\circ$ быть не может, если это вписанный угол в диаметр. Вероятно, опечатка в условии (угол вписанный в полуокружность не может быть больше 90). Если $RNP$ — это дуга, то $\angle RNP$ не определен. Предположим, имелся в виду угол $\angle NRP$ или иное. Если $\angle RNP = 96^\circ$ — задача некорректна. Пожалуйста, проверьте условие.