1) В равнобедренном ∆ABC с основанием BC, ∠A=120°. Высота, проведённая из B, равна 13см. Найти BC.

### Решение задач **Задача 1** В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) с основанием $BC$, $\angle A=120^{\circ}$. Высота, проведённая из вершины $B$ на прямую $AC$, равна $13$ см. Рассмотрим $\triangle ABH$, где $BH \perp AC$. Так как $\angle BAC = 120^{\circ}$, то внешний угол $\angle ABH = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle ABH = 30^{\circ}$. Катет, лежащий против угла $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, но здесь $BH$ — это катет. По определению синуса: $\sin(60^{\circ}) = \frac{BH}{AB}$, значит $AB = \frac{13}{\sin(60^{\circ})} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}}$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$ ($BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^{\circ})$): $BC^2 = (\frac{26}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{26}{\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot (\frac{26}{\sqrt{3}})^2 \cdot (-0.5) = 3 \cdot \frac{676}{3} = 676$. $BC = \sqrt{676} = 26$ см. **Ответ:** 26 см. **Задача 2** Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, значит $\angle A = \angle B$. По условию $\angle C = 0.5 \cdot \angle A$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A + \angle A + 0.5 \cdot \angle A = 180^{\circ}$. $2.5 \cdot \angle A = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 72^{\circ}$. Следовательно, $\angle B = 72^{\circ}$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ:** 108°. **Задача 3** Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, значит $AB = BC$ и $\angle BAC = \angle BCA$. Дано $\angle ABC = 32^{\circ}$, тогда: $\angle BAC = (180^{\circ} - 32^{\circ}) / 2 = 148^{\circ} / 2 = 74^{\circ}$. Точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$, значит углы $\angle BAC$ и $\angle DAC$ совпадают. В треугольнике $ADC$ стороны $AD = AC$, значит он равнобедренный. Угол при вершине $A$ равен $74^{\circ}$. $\angle ADC = (180^{\circ} - 74^{\circ}) / 2 = 106^{\circ} / 2 = 53^{\circ}$. **Ответ:** 53°.