9 \angle A : \angle B = 2 : 1

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Все они основаны на свойствах прямоугольных треугольников и сумме углов треугольника (она равна $180^\circ$). ### Задача 9 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A : \angle B = 2 : 1$. Найти: $\angle A$, $\angle B$. 1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. 2. Обозначим части через $x$: $\angle A = 2x$, $\angle B = x$. 3. Составим уравнение: $2x + x = 90^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ$. 4. Тогда: $\angle B = 30^\circ$, $\angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. ### Задача 10 Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A - \angle B = 30^\circ$. Найти: $\angle A$, $\angle B$. 1. Известно, что $\angle A + \angle B = 90^\circ$. 2. Сложим систему уравнений: $\begin{cases} \angle A - \angle B = 30^\circ \\ \angle A + \angle B = 90^\circ \end{cases}$ 3. Складываем: $2\angle A = 120^\circ \implies \angle A = 60^\circ$. 4. Находим $\angle B$: $\angle B = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. ### Задача 13 Дано: $\triangle KSP$ — прямоугольный, $\angle KSP = 120^\circ$ (внешний угол), $RS + RP = 36$. Найти: $RS$, $SP$. *Примечание: Вероятно, треугольник $SRP$ прямоугольный, а внешний угол $\angle KSP$ равен $120^\circ$. Тогда внутренний $\angle RSP = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тогда в $\triangle SRP$: $\angle SPR = 30^\circ$ (так как $180 - 90 - 60 = 30$).* 1. Катет, лежащий против угла $30^\circ$ (это $RS$), равен половине гипотенузы ($SP$): $RS = \frac{1}{2} SP$. 2. По условию $RS + RP = 36$ (тут опечатка в условии, скорее всего, нужно найти $RS$ и $SP$, а сумма катетов или сумма $RS$ и $SP$ даны, но обычно в таких задачах дают сумму $SP$ и $RS$). Если допустить, что в условии $RS+SP=36$: 3. $\frac{1}{2}SP + SP = 36 \implies 1.5SP = 36 \implies SP = 24$. 4. $RS = 24 / 2 = 12$. **Ответ:** $RS = 12$, $SP = 24$. ### Задача 14 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle CAD = 60^\circ$, $AD = 10$, $CD \perp AB$. Найти: $AC$, $BD$. 1. Рассмотрим $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^\circ$). $\angle CAD = 60^\circ$, значит $\angle ACD = 30^\circ$. 2. Катет $AD$ лежит против угла $30^\circ$ в $\triangle ACD$, значит гипотенуза $AC$ в два раза больше: $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 10 = 20$. 3. В $\triangle ABC$ высота $CD^2 = AD \cdot BD$ (по свойству высоты в прямоугольном треугольнике). 4. Сначала найдем $CD$. В $\triangle ADC$: $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. 5. $CD^2 = AD \cdot BD \implies (10\sqrt{3})^2 = 10 \cdot BD \implies 300 = 10 \cdot BD \implies BD = 30$. **Ответ:** $AC = 20$, $BD = 30$.