595 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет $b$ прилежит к острому углу $\alpha$. Обозначим второй катет через $a$, а гипотенузу через $c$. Второй острый угол, противолежащий катету $b$, равен $90^\circ - \alpha$. а) Выразим неизвестные стороны через $b$ и $\alpha$: - Второй катет $a$ (противолежащий углу $\alpha$): $\tan \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan \alpha$ - Гипотенуза $c$: $\cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha}$ - Острый угол, прилежащий к катету $b$ (это угол $\alpha$), мы уже использовали. Если нужно найти второй острый угол, противолежащий катету $b$: $90^\circ - \alpha$. б) Найдем значения, если $b = 12$ см, $\alpha = 42^\circ$: - $a = 12 \cdot \tan 42^\circ \approx 12 \cdot 0,9004 \approx 10,8$ см - $c = \frac{12}{\cos 42^\circ} \approx \frac{12}{0,7431} \approx 16,15$ см - Второй острый угол: $90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$ Ответ: а) $a = b \tan \alpha$, $c = \frac{b}{\cos \alpha}$, острый угол $90^\circ - \alpha$; б) $a \approx 10,8$ см, $c \approx 16,15$ см, угол $48^\circ$.