1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (an), если a1 = -25 и d = 4.

### 1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (an), если a1 = -25 и d = 4. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n - 1)d$. Для $n = 30$: $a_{30} = -25 + (30 - 1) \cdot 4 = -25 + 29 \cdot 4 = -25 + 116 = 91$. **Ответ: 91.** ### 2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 2 и a2 = 5. Разность $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Сумма первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$. $S_{15} = \frac{2 \cdot 2 + (15 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 14 \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{4 + 42}{2} \cdot 15 = \frac{46}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345$. **Ответ: 345.** ### 3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (cn), в которой c1 = 30 и c7 = 21? Найдем разность $d$: $c_7 = c_1 + 6d \Rightarrow 21 = 30 + 6d \Rightarrow 6d = -9 \Rightarrow d = -1,5$. Число -6 является членом прогрессии, если номер $n$ — натуральное число в формуле: $c_n = c_1 + (n - 1)d$. $-6 = 30 + (n - 1)(-1,5)$ $-36 = (n - 1)(-1,5)$ $n - 1 = 24$ $n = 25$. Так как $n = 25$ — натуральное число, то число -6 является 25-м членом прогрессии. **Ответ: Да, является.** ### 4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bn = 2n + 1. Это арифметическая прогрессия, так как $b_n$ — линейная функция от $n$. $b_1 = 2(1) + 1 = 3$. $b_{20} = 2(20) + 1 = 41$. Сумма $S_{20} = \frac{b_1 + b_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{3 + 41}{2} \cdot 20 = 44 \cdot 10 = 440$. **Ответ: 440.** ### 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150. Числа образуют арифметическую прогрессию: $4, 8, 12, \dots, a_n$. Последнее число, не превышающее 150 и кратное 4: $150 / 4 = 37,5$, значит, $37 \cdot 4 = 148$. $a_1 = 4, d = 4, a_n = 148$. Находим количество членов $n$: $148 = 4 + (n - 1) \cdot 4 \Rightarrow 148 = 4n \Rightarrow n = 37$. Сумма $S_{37} = \frac{4 + 148}{2} \cdot 37 = \frac{152}{2} \cdot 37 = 76 \cdot 37 = 2812$. **Ответ: 2812.**