15 Найдите величину тупого угла параллелограмма KMPD, если биссектриса угла D образует со стороной MP угол 31°.

15. Пусть $\angle KDP = 2\alpha$. Биссектриса делит его на два угла по $\alpha$. Так как $MP \parallel KD$, то накрест лежащие углы равны: $\angle ODP = \angle KOD = \alpha = 31^\circ$. Тогда $\angle KDP = 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ$. Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, тупой угол $\angle DKM = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$. Ответ: 118 16. Сторона $AC$ — диаметр, так как проходит через центр окружности. Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой ($90^\circ$). В треугольнике $ABC$ $\angle B = 90^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Ответ: 55 17. Проведем высоты из верхнего основания (8) к нижнему (14). Получим прямоугольник посередине и два прямоугольных треугольника по бокам. Длина нижнего основания делится на: $x, 8, x$. Значит $2x + 8 = 14$, откуда $2x = 6$ и $x = 3$. Высоту $h$ найдем по теореме Пифагора из боковой стороны (5) и катета $x=3$: $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$. Площадь $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+14}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44$. Ответ: 44 18. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Основание $AB$ равно 6 клеткам. Высота от вершины $C$ до основания $AB$ равна 5 клеткам. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$. Ответ: 15 19. Разберем утверждения: 1) Неверно. Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 2) Верно. Через точку вне окружности можно провести ровно две касательные. 3) Верно. Это свойство диагоналей любого параллелограмма, а ромб — это параллелограмм. Ответ: 23