Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### Задача 1 **Ответ:** Геометрическим местом точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка AB, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. **Построение:** 1. Поставь ножку циркуля в точку A и проведи окружность произвольного радиуса (больше половины отрезка AB). 2. Не меняя раствора циркуля, поставь ножку в точку B и проведи еще одну окружность. 3. Точки пересечения этих окружностей будут лежать на серединном перпендикуляре. Соедини их прямой линией. **Доказательство:** Любая точка X на серединном перпендикуляре является вершиной равнобедренного треугольника AXB (так как перпендикуляр к основанию равнобедренного треугольника является его медианой). В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $XA = XB$, значит, точка X равноудалена от концов отрезка. ### Задача 2 **Ответ:** Такая точка — это **центр вписанной окружности** треугольника (инцентр). Она находится на пересечении биссектрис всех углов треугольника. ### Задача 3 1. Пусть треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Значит, $AB = AC$. 2. Биссектриса угла A в равнобедренном треугольнике является также и высотой, и медианой, проведенной к основанию BC. 3. Серединный перпендикуляр к стороне AC проходит через центр описанной окружности треугольника ABC. 4. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса угла A (которая является осью симметрии треугольника) совпадает с серединным перпендикуляром к стороне BC. 5. Точка O лежит на биссектрисе угла A. В любом треугольнике точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Но здесь нам нужно найти ВО. 6. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к AC, значит, $OA = OC = 10$ см. 7. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает серединный перпендикуляр к AC. Так как треугольник равнобедренный, а O лежит на биссектрисе (оси симметрии), расстояние от O до вершин A и C равно 10 см. В данной конфигурации, учитывая симметрию, $BO = AO = 10$ см. **Ответ:** $BO = 10$ см.