Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра тетраэдра и вернуться в исходную вершину?

### Решение задачи 8 Тетраэдр имеет 4 вершины. У каждой вершины сходятся 3 ребра, значит, степень каждой вершины равна 3 (нечетное число). Граф с четырьмя нечетными вершинами невозможно пройти без повторов так, чтобы обойти все ребра. Чтобы сделать граф эйлеровым (пройти все ребра и вернуться в начало), нужно добавить повторные ребра так, чтобы все вершины стали четными. Нам нужно превратить все 4 нечетные вершины в четные. Каждое повторное ребро добавляет +1 к степени двух вершин. Если мы добавим 2 ребра (дублируя уже существующие), каждая из 4 вершин получит +1 к своей степени, став четной (3+1=4). Это минимально возможное количество повторов. **Ответ: 2** ### Решение задачи 9 Разберем каждое утверждение: 1) Ложно. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне (или половине произведения диагоналей на синус угла между ними). 2) Истинно. В треугольнике сумма углов 180°, если один угол тупой (больше 90°), на два других остается меньше 90°, значит, они оба острые. 3) Истинно. Это свойство диагоналей любого параллелограмма, а ромб — частный случай параллелограмма. 4) Ложно. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Верные утверждения: 2, 3. **Ответ: 23** ### Решение задачи 10 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 17$, $\sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 1. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin A = \frac{BC}{AB}$. 2. Также $\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$. В нашем случае $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 3. По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Пусть $BC = 2\sqrt{5}x$, тогда $AB = 5x$. $AC^2 = AB^2 - BC^2 = (5x)^2 - (2\sqrt{5}x)^2 = 25x^2 - 20x^2 = 5x^2$. $AC = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5} = 17$, значит $x = \frac{17}{\sqrt{5}}$. 4. Тогда $BC = 2\sqrt{5} \cdot \frac{17}{\sqrt{5}} = 2 \cdot 17 = 34$. **Ответ: 34**