Найти область определения функции: a) y = sin 3x

Привет! Давай разберем твою самостоятельную работу по тригонометрии. ### 1. Найти область определения функции (D(y)) a) $y = \sin 3x$. Аргумент синуса — любое число, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. b) $y = \cos \frac{x}{5}$. Аналогично, аргумент косинуса — любое число, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. c) $y = \sqrt{\sin x - 1}$. Квадратный корень существует, если $\sin x - 1 \ge 0$, то есть $\sin x \ge 1$. Так как максимальное значение синуса — 1, это верно только при $\sin x = 1$. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. d) $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$. Нужно $2 \sin x - 1 \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge 0{,}5$. Решение: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$. ### 2. Найти множество значений функции (E(y)) a) $y = 2 + 3 \sin x$. Т.к. $\sin x \in [-1; 1]$, то $3 \sin x \in [-3; 3]$. Значит, $y \in [2-3; 2+3] = [-1; 5]$. b) $y = \sin 2x \cos 2x + 4 = \frac{1}{2} \sin 4x + 4$. Т.к. $\sin 4x \in [-1; 1]$, то $\frac{1}{2} \sin 4x \in [-0{,}5; 0{,}5]$. Значит, $y \in [3{,}5; 4{,}5]$. ### 3. Сравнить числа a) $\cos \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{4\pi}{5}$. $\frac{\pi}{5} < \frac{4\pi}{5}$, косинус убывает на $[0; \pi]$, значит $\cos \frac{\pi}{5} > \cos \frac{4\pi}{5}$. b) $\cos(-\frac{7\pi}{8})$ и $\cos(-\frac{\pi}{9})$. Т.к. $\cos(-x) = \cos x$, имеем $\cos(\frac{7\pi}{8})$ и $\cos(\frac{\pi}{9})$. $\frac{\pi}{9} < \frac{7\pi}{8}$, косинус убывает, значит $\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{7\pi}{8}$. c) $\cos 4$ и $\cos 5$. $4$ радиана во II четверти, $5$ радиан в IV четверти. $\cos 4 < 0$, $\cos 5 > 0$. Значит $\cos 4 < \cos 5$. d) $\sin \frac{8\pi}{11}$ и $\sin \frac{12\pi}{11}$. $\sin \frac{8\pi}{11} > 0$ (II четв), $\sin \frac{12\pi}{11} < 0$ (III четв). Значит $\sin \frac{8\pi}{11} > \sin \frac{12\pi}{11}$. e) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$. Тангенс возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$. Так как $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{9}$, то $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} > \operatorname{tg} \frac{\pi}{9}$. ### 4. Корни уравнения на $[-2\pi; 2\pi]$ a) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. В отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ это: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$. b) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k$. В отрезке: $-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ (уточнение: $\frac{11\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$ в зависимости от круга, корни: $-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$). c) $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n$. В отрезке: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$. ### 5. Решения неравенства на $[-2\pi; 2\pi]$ a) $\cos x < \frac{1}{2}$. Решение на периоде: $(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$. С учетом $[ -2\pi; 2\pi ]$: $(-\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3})$. b) $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение на периоде: $(\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$. С учетом $[ -2\pi; 2\pi ]$: $(-\frac{7\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$. c) $\operatorname{tg} x \le 1$. На периоде: $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$. С учетом отрезка: $[ -2\pi; -\frac{7\pi}{4} ] \cup ( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4} ] \cup ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4} ] \cup ( \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4} ]$.