1) Дано: $\Delta ABC$, $AB = BC$, вписанная окружность касается сторон в точках $K, M, L$. $BK = 9$, $AK = 4$. Найти: $P_{\Delta ABC}$.

### Задача 1 Дано: $\Delta ABC$, $AB = BC$, вписанная окружность касается сторон в точках $K, M, L$. $BK = 9$, $AK = 4$. Найти: $P_{\Delta ABC}$. Решение: 1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. - $BK = BM = 9$ - $AK = AL = 4$ - $CM = CL = x$ (пусть $CM = x$, тогда и $CL = x$) 2. Найдем стороны треугольника: - $AB = BK + AK = 9 + 4 = 13$ - Так как $AB = BC$, то $BC = 13$. Значит, $BM + MC = 13 \Rightarrow 9 + MC = 13 \Rightarrow MC = 4$. - $CL = MC = 4$, значит $CL = 4$. - $AC = AL + CL = 4 + 4 = 8$. 3. Периметр треугольника: $P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 8 = 34$. **Ответ: 34** ### Задача 2 Дано: $\Delta ABC$, $\angle C = 90^\circ$, вписанная окружность касается сторон в точках $F, D, H$. $BD = 10$, $AD = 3$, $P_{\Delta ABC} = 30$. Найти: $CH$ (радиус вписанной окружности, так как $CF = CH$ и углы прямые, фигура $CFOH$ — квадрат). Решение: 1. Обозначим $CH = x$ (радиус вписанной окружности). - $CF = CH = x$ (как отрезки касательных из одной точки $C$). - $AD = AH = 3$ (касательные из $A$). - $BD = BF = 10$ (касательные из $B$). 2. Стороны треугольника: - $AC = AH + CH = 3 + x$ - $BC = BF + CF = 10 + x$ - $AB = BD + AD = 10 + 3 = 13$ 3. Периметр $P = AC + BC + AB = (3 + x) + (10 + x) + 13 = 26 + 2x$. 4. По условию $P = 30$, составим уравнение: $26 + 2x = 30$ $2x = 4$ $x = 2$ **Ответ: 2**