Луч и угол (определение). Какой луч называется биссектрисой угла?

Привет! Давай разберем задачи из билетов. Начнем с первой задачи из Билета №1. ### Билет №1 **Задача 3:** В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 21,6, HC = 5,4 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах. 1. **Анализ условия:** * $AC = 21,6$, $HC = 5,4$. * $BM$ — медиана, значит $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{21,6}{2} = 10,8$. * $H$ лежит на $AC$, $HC = 5,4$. * $MC = 10,8$, $HC = 5,4$, значит $HM = MC - HC = 10,8 - 5,4 = 5,4$. * Получается, что $HM = HC = 5,4$. Так как $BH$ — высота, треугольник $BMC$ является равнобедренным ($BH$ — высота и медиана в треугольнике $BMC$, так как $HM = HC$). 2. **Нахождение угла:** * В равнобедренном треугольнике $BMC$ углы при основании равны, значит $\angle BMC = \angle BCM = 40°$. * Угол $\angle AMB$ является смежным с углом $\angle BMC$. Сумма смежных углов равна 180°. * $\angle AMB = 180° - \angle BMC = 180° - 40° = 140°$. **Ответ: 140** ### Билет №2 **Задача 3:** Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах. 1. **Анализ:** * Угол 1 и угол 3 — внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $m, n$ и секущей. Они равны. * Значит, $\angle 3 = \angle 1 = 22°$. **Ответ: 22** ### Билет №3 **Задача 3:** В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите ∠AOK. 1. **Анализ:** * В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами. * Угол $\angle A = 60°$. Медиана $AM$ делит угол $A$ пополам, значит $\angle OAC = 30°$ (или $\angle OAK = 30°$ так как $AM$ и $AK$ — отрезки одних и тех же медиан). * Медиана $BK$ делит угол $B$ пополам, значит $\angle OB A = 30°$. * Рассмотрим треугольник $AOB$. Углы $\angle OAB = 30°$ и $\angle OBA = 30°$. Тогда $\angle AOB = 180° - 30° - 30° = 120°$. * Угол $\angle AOK$ вертикален с углом $\angle BOM$ (тут нужно смотреть на точку пересечения $O$). Но проще так: $\angle AOK$ и $\angle AOB$ — смежные? Нет, они на прямой. $\angle AOK$ смежный с $\angle AOB$. * $\angle AOK = 180° - 120° = 60°$. **Ответ: 60** ### Билет №4 **Задача 3:** В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите ∠MPN. 1. **Анализ:** * В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами, и высотами. Углы при вершинах равны 60°. * Биссектрисы $CN$ и $AM$ делят углы $C$ и $A$ пополам: $\angle PC A = 30°$, $\angle PAC = 30°$. * В треугольнике $APC$ угол $\angle APC = 180° - 30° - 30° = 120°$. * Угол $\angle MPN$ вертикален с углом $\angle APC$ (если $M$ и $N$ — точки на сторонах $BC$ и $AB$). Значит, $\angle MPN = \angle APC = 120°$. **Ответ: 120**