2. Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 градусов. Сформулировать обратное утверждение.

### Задача 2 **Теорема:** В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. **Доказательство:** 1. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$) и $\angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 60^\circ$. 2. Продолжим катет $BC$ за точку $C$ на отрезок $CD = BC$. Соединим точки $A$ и $D$. 3. $\triangle ABC = \triangle ADC$ по двум катетам ($AC$ — общий, $BC = CD$, $\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$). 4. Из равенства треугольников следует $AB = AD$. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный. 5. Так как $\angle B = 60^\circ$, то и $\angle ADB = 60^\circ$, а значит, $\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. $\triangle ABD$ — равносторонний. 6. Значит, $BD = AB$. Так как $BC = \frac{1}{2}BD$, то $BC = \frac{1}{2}AB$. Что и требовалось доказать. **Обратное утверждение:** Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. ### Задача 3 **Дано:** $\angle ABD = 90^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$, $AD$ — биссектриса $\angle BAC$. **Доказательство:** 1. Равны острые углы при гипотенузе: $\angle BAD = \angle CAD$ (по определению биссектрисы). 2. $AD$ — общая сторона (гипотенуза) для $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. 3. Так как у прямоугольных треугольников гипотенуза и острый угол соответственно равны, то $\triangle ABD = \triangle ACD$ по признаку равенства прямоугольных треугольников.