В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S – натуральное число.

Пусть $S$ — сумма кредита. Долг увеличивается на 25%, значит, каждый год мы умножаем остаток долга на $1,25$ (или $5/4$). Обозначим $x_1, x_2, x_3, x_4$ — выплаты в соответствующие годы. Выплата состоит из начисленных процентов и уменьшения основного долга. Формула выплаты: $x_i = (\text{долг}_i \cdot 1,25) - \text{долг}_{i+1}$. 1. Июль 2016 (начало): Долг = $S$ 2. Январь 2017: Долг = $1,25S$. Июль 2017: Долг = $0,7S$. $x_1 = 1,25S - 0,7S = 0,55S$ 3. Январь 2018: Долг = $0,7S \cdot 1,25 = 0,875S$. Июль 2018: Долг = $0,5S$. $x_2 = 0,875S - 0,5S = 0,375S$ 4. Январь 2019: Долг = $0,5S \cdot 1,25 = 0,625S$. Июль 2019: Долг = $0,3S$. $x_3 = 0,625S - 0,3S = 0,325S$ 5. Январь 2020: Долг = $0,3S \cdot 1,25 = 0,375S$. Июль 2020: Долг = $0$. $x_4 = 0,375S - 0 = 0,375S$ Общая сумма выплат: $X = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0,55S + 0,375S + 0,325S + 0,375S = 1,625S$ Нам нужно, чтобы $1,625S$ было целым числом, где $S$ — натуральное число. Представим $1,625$ в виде обыкновенной дроби: $1,625 = \frac{1625}{1000} = \frac{13}{8}$ Получаем выражение: $\frac{13S}{8}$. Чтобы выражение было целым числом, $S$ должно быть кратно $8$ (так как $13$ и $8$ взаимно просты). Наименьшее натуральное $S$, кратное $8$, равно $8$. **Ответ: 8**