1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 38, а площадь поверхности равна 9272.

1. Сторона основания $a=38$, площадь поверхности $S=9272$. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы: $S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$. Подставим значения: $9272 = 2 \cdot 38^2 + 4 \cdot 38 \cdot h$. $9272 = 2 \cdot 1444 + 152h$. $9272 = 2888 + 152h$. $152h = 6384$. $h = 42$. Ответ: 42. 2. Катеты $a=12, b=16$. Гипотенуза $c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144+256} = \sqrt{400} = 20$. Периметр основания $P = 12+16+20 = 48$. Площадь основания $S_{осн} = 0.5 \cdot 12 \cdot 16 = 96$. Высота $h=20$. $S_{пов} = 2S_{осн} + P \cdot h = 2 \cdot 96 + 48 \cdot 20 = 192 + 960 = 1152$. Ответ: 1152. 3. Катеты $a=7, b=24$. Гипотенуза $c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Периметр $P = 7+24+25 = 56$. Площадь основания $S_{осн} = 0.5 \cdot 7 \cdot 24 = 84$. $S_{пов} = 2S_{осн} + P \cdot h = 840$. $2 \cdot 84 + 56 \cdot h = 840$. $168 + 56h = 840$. $56h = 672$. $h = 12$. Ответ: 12. 4. В правильной треугольной пирамиде ADHP (основание DHP, вершина A): $HP=3$ (сторона основания). $N$ — середина $DP$, значит $DN=NP=1.5$. $AN=15$ — это высота боковой грани (апофема), так как в правильной пирамиде боковые грани — равнобедренные треугольники. $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани}$. $S_{грани} = 0.5 \cdot HP \cdot AN = 0.5 \cdot 3 \cdot 15 = 22.5$. $S_{бок} = 3 \cdot 22.5 = 67.5$. Ответ: 67.5. 5. Сторона основания $a=48$, боковое ребро $b=40$. Высота боковой грани (апофема) $l$: из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой грани и половиной стороны основания ($a/2=24$), $l = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32$. $S_{осн} = a^2 = 48^2 = 2304$. $S_{бок} = 4 \cdot (0.5 \cdot a \cdot l) = 2 \cdot 48 \cdot 32 = 3072$. $S_{пов} = 2304 + 3072 = 5376$. Ответ: 5376. 6. Сторона основания $a=14$, высота пирамиды $H=24$. Апофема $l$ (высота боковой грани) связана с высотой пирамиды и апофемой основания ($r = a/2 = 7$): $l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$. $S_{бок} = 4 \cdot (0.5 \cdot a \cdot l) = 2 \cdot 14 \cdot 25 = 700$. Ответ: 700.