К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.

Дано: $\triangle ABC$ — прямоугольный ($∠C = 90^\circ$), $CH$ — высота, $CM$ — медиана, $∠A = 15^\circ$ (или $∠B = 15^\circ$, так как острые углы в сумме дают $90^\circ$, здесь $∠A=15^\circ$, значит $∠B=75^\circ$), $CH = 4$. Решение: 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, треугольник $CMB$ — равнобедренный ($CM = MB$), значит $∠MCB = ∠B = 75^\circ$. Тогда $∠CMB = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CMH$ (где $∠CHM = 90^\circ$). В нем $CM$ — гипотенуза, $∠CMH = 30^\circ$ (это тот же самый угол $∠CMB$), и катет $CH = 4$. 3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $CH = \frac{1}{2}CM$. Отсюда $CM = 2 \cdot CH = 2 \cdot 4 = 8$. 4. Так как $CM = \frac{1}{2}AB$, то $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$. **Ответ: 16**