Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Решение задач: **712. Шар и цилиндр имеют равные объемы** Пусть $R$ — радиус шара, тогда его диаметр $D = 2R$. Так как диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, то радиус основания цилиндра также равен $R$. Объем шара: $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Объем цилиндра: $V_{ц} = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 \cdot H$. Так как $V_{ш} = V_{ц}$, имеем: $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 \cdot H$ Сократим на $\pi R^2$ ($R \neq 0$): $H = \frac{4}{3}R$. **Ответ:** Высота цилиндра равна $\frac{4}{3}$ радиуса шара. **713. Стаканчик для мороженого** Объем конуса (стаканчика): $V_{к} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. По фото данные неполные (не хватает высоты конуса $h$ для определения объема). Примем стандартные параметры или укажем нехватку данных. Если предположить задачу на сравнение объемов двух полушарий (мороженое) и конуса: Объем двух полушарий (сфера) радиуса $R=2.5$ см: $V_{морож} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (2.5)^3 \approx 20.83\pi \approx 65.4$ см$^3$. Если объем стаканчика меньше этого значения, он переполнится. Для точного ответа нужно знать высоту стаканчика. **Ответ:** Недостаточно данных для точного решения (неизвестна высота стаканчика). **714. Мензурка с шариками** 1. Радиус мензурки $r = 2.5 / 2 = 1.25$ см. 2. Площадь сечения мензурки: $S = \pi r^2 = \pi (1.25)^2 = 1.5625\pi$ см$^2$. 3. Объем одного шарика (радиус $r_{ш} = 1 / 2 = 0.5$ см): $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi (0.5)^3 = \frac{4}{3}\pi (0.125) = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi$ см$^3$. 4. Объем 4 шариков: $4 \cdot \frac{1}{6}\pi = \frac{2}{3}\pi$ см$^3$. 5. Уровень воды поднимется на высоту $\Delta h = \frac{V_{4ш}}{S} = \frac{\frac{2}{3}\pi}{1.5625\pi} = \frac{2}{3 \cdot 1.5625} = \frac{2}{4.6875} \approx 0.427$ см. **Ответ:** Уровень воды в мензурке поднимется примерно на 0,43 см. **715. Объем шарового сегмента** Формула объема шарового сегмента: $V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$, где $h$ — высота сегмента, $R$ — радиус шара. Известно $h = 60$ см = 0.6 м. Радиус основания сегмента $a = 5/2 = 2.5$ м. Связь $R, a, h$: $a^2 = h(2R - h) \Rightarrow 2.5^2 = 0.6(2R - 0.6) \Rightarrow 6.25 = 1.2R - 0.36 \Rightarrow 6.61 = 1.2R \Rightarrow R \approx 5.51$ м. $V = \frac{1}{3}\pi (0.6)^2 (3 \cdot 5.51 - 0.6) = \frac{1}{3}\pi \cdot 0.36 \cdot (16.53 - 0.6) = 0.12 \pi \cdot 15.93 \approx 6$ м$^3$. **Ответ:** Потребуется около 6 кубометров земли.