Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть задуманные числа — $x$ и $y$. Предположим, что $x \ge y$. Тогда условия задачи записываются так: 1. $x + y = 23$ 2. $7 < x - y < 11$ Так как числа натуральные, их разность $x - y$ может принимать только целые значения. Значит, разность равна 8, 9 или 10. Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 23 - y$. Подставим в неравенство: $7 < (23 - y) - y < 11$ $7 < 23 - 2y < 11$ Вычтем 23 из всех частей неравенства: $-16 < -2y < -12$ Разделим на $-2$ (знак неравенства меняется): $6 < y < 8$ Единственное натуральное число между 6 и 8 — это $7$. Значит, $y = 7$. Тогда $x = 23 - 7 = 16$. Проверим разность: $16 - 7 = 9$. Число 9 удовлетворяет условию $7 < 9 < 11$. **Ответ:** Задуманы числа 16 и 7.