Давай разберем эти задачи по тригонометрии. Мы будем использовать формулы сложения углов:
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
### 1025. Найти значение выражения:
1) $\cos 57^\circ 30' \cos 27^\circ 30' + \sin 57^\circ 30' \sin 27^\circ 30' = \cos(57^\circ 30' - 27^\circ 30') = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2) $\cos 19^\circ 30' \cos 25^\circ 30' - \sin 19^\circ 30' \sin 25^\circ 30' = \cos(19^\circ 30' + 25^\circ 30') = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
3) $\cos\frac{7\pi}{9} \cos\frac{11\pi}{9} - \sin\frac{7\pi}{9} \sin\frac{11\pi}{9} = \cos(\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9}) = \cos(2\pi) = 1$
4) $\cos\frac{8\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7} \sin\frac{\pi}{7} = \cos(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}) = \cos(\pi) = -1$
### 1026. Вычислить:
1) $\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3} \cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3} \sin\alpha = \frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha$
Так как $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (1-я четверть, косинус положителен), $\cos\alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Подставим: $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - 3}{6}$.
2) $\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\alpha + \sin\alpha)$.
$\cos\alpha = -\frac{1}{3}$, $\sin\alpha = \sqrt{1 - (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (синус положителен во 2-й четверти).
Подставим: $\frac{\sqrt{2}}{2} (-\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{-\sqrt{2} + 4}{6}$.
### 1027. Упростить выражение:
1) $\cos 3\alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin 3\alpha = \cos(3\alpha + \alpha) = \cos 4\alpha$
2) $\cos 5\beta \cos 2\beta + \sin 5\beta \sin 2\beta = \cos(5\beta - 2\beta) = \cos 3\beta$
3) $\cos(\frac{\pi}{7} + \alpha) \cos(\frac{15\pi}{14} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{7} + \alpha) \sin(\frac{15\pi}{14} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{7} + \alpha + \frac{15\pi}{14} - \alpha) = \cos(\frac{2\pi}{14} + \frac{15\pi}{14}) = \cos(\frac{17\pi}{14})$
4) $\cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha) \cos(\frac{2\pi}{5} + \alpha) + \sin(\frac{7\pi}{5} + \alpha) \sin(\frac{2\pi}{5} + \alpha) = \cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha - (\frac{2\pi}{5} + \alpha)) = \cos(\frac{5\pi}{5}) = \cos(\pi) = -1$
### 1028. Найти значение выражения:
1) $\sin 73^\circ \cos 17^\circ + \cos 73^\circ \sin 17^\circ = \sin(73^\circ + 17^\circ) = \sin 90^\circ = 1$
2) $\sin 73^\circ \cos 13^\circ - \cos 73^\circ \sin 13^\circ = \sin(73^\circ - 13^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3) $\sin\frac{5\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{5\pi}{12} = \sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
4) $\sin\frac{7\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{7\pi}{12} = \sin(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{6\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
### 1029. Вычислить:
1) $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6} = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2}$.
$\sin\alpha = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$ (синус отрицателен в 3-й четверти).
Результат: $-\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.
2) $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4} \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos\alpha - \sin\alpha)$.
$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sin\alpha = -\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{2}{9}} = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ (синус отрицателен в 4-й четверти).
Результат: $\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{3} - (-\frac{\sqrt{7}}{3})) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{3}) = \frac{2 + \sqrt{14}}{6}$.
